Si se quita de una recta racional otra recta racional que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera, la recta restante es irracional; llámese apótoma.
Quítese, pues, de la recta racional AB , la recta racional BC que es conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera . Digo que la recta restante AC es la recta irracional llamada apótoma.
Pues como AB es inconmensurable en longitud con BC, y como AB/BC = AB2/AB·BC, entonces, AB2 es inconmensurable con AB·BC [Prop. X.11]. Pero AB2+BC2 es conmensurable con AB2 [Prop. X.15], y 2AB·BC es conmensurable con AB·BC [Prop. X.6]. Y puesto que AB2+BC2 = 2AB·BC + CA2 [Prop. II.7], entonces AB2+BC2 es inconmensurable también con el resto, AC2 [Prop. X.13, Prop. X.16]. Pero AB2+BC2 es racional; por tanto, AC es irracional; llámesela apótoma.
Q. E. D.