El cuadrado de una recta «mayor» aplicado a una recta racional produce como anchura una cuarta binomial.

Sea AB una recta «mayor» dividida por el punto C de modo que AC sea mayor que CB y sea DE una recta racional y aplíquese a DE el paralelogramo DF igual al cuadrado de AB que produzca como anchura DG. Digo que DG es una cuarta binomial.

Sígase la misma construcción que en las demostraciones anteriores. Y como AB es una recta «mayor» dividida por el punto C, AC, CB son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados racional pero el rectángulo comprendido por ellas medial [Prop. X.39]. Así pues, como la suma de los cuadrados de AC, CB es racional, entonces DL es racional; luego DM es también racional y conmensurable en longitud con DE [Prop. X.20]. Puesto que el doble del rectángulo comprendido por AC, CB, es decir MF, es, a su vez, medial y se ha aplicado a la recta racional ML, entonces MG es también racional e inconmensurable en longitud con DE [Prop. X.22]; luego DM es también inconmensurable en longitud con DE [Prop. X.22]; luego DM es también inconmensurable en longitud con MG [Prop. X.13]. Así pues, DM, MG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto DG es una recta binomial [Prop. X.36].

Hay que demostrar que es también cuarta.

De manera semejante a los teoremas anteriores demostraríamos que DM es mayor que MG, y que el rectángulo DK, KM es igual al cuadrado de MN. Así pues, como el cuadrado de AC es inconmensurable con el cuadrado de CB, entonces DH es inconmensurable con KL; de modo que DK es inconmensurable con KM [Prop. VI.1; Prop. X.11]. Pero si hay dos rectas desiguales y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y la divide en partes inconmensurables, entonces el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella la mayor [Prop. X.18]; luego el cuadrado de DM es mayor que el de MG en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella DM. Ahora bien, DM, MG son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y DM es conmensurable con la recta racional propuesta DE. Por consiguiente, DG es una cuarta binomial.

Q. E. D.