Y que las antedichas rectas irracionales se dividen de una sola manera en las rectas de las que se componen dando lugar a los tipos propuestos lo demostraremos enseguida, después de adelantar el siguiente lema.
Póngase una recta AB y córtese la recta entera en partes desiguales por cada uno de los puntos C, D ; y supóngase que AC es mayor que DB. Digo que los cuadrados de AC, CB son mayores que los cuadrados de AD, DB.
Divídase, pues, AB en dos partes iguales por el punto E . Y como AC es mayor que DB, quítese de ambos DC; entonces la recta restante AD es mayor que la recta restante CB. Pero AE es igual a EB; entonces DE es menor que EC; luego los puntos C, D no están a igual distancia del punto de bisección. Y como el rectángulo comprendido por AC, CB junto con el cuadrado de EC es igual al cuadrado de EB [Prop. II.5], mientras que el rectángulo comprendido por AD, DB junto con el cuadrado de DE es igual al cuadrado de EB [Prop. II.5], entonces el rectángulo comprendido por AC, CB junto con el cuadrado de EC es igual al rectángulo comprendido por AD, DB junto con el cuadrado de DE; de los cuales el cuadrado de DE es menor que el cuadrado de EC; luego el rectángulo restante comprendido por AC, CB es menor que el rectángulo comprendido por AD, DB. De modo que el doble del rectángulo comprendido por AC, CB es también menor que el doble del rectángulo comprendido por AD, DB. Por consiguiente, el resto, la suma de los cuadrados de AC, CB es mayor que la suma de los cuadrados de AD, DB.
La recta binomial se divide en sus términos por un sólo punto.
Sea dividida en sus términos la recta binomial AB por el punto C ; entonces AC, CB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.36]. Digo que AB no se divide por otro punto en dos rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado.
Pues, si es posible, divídase también por el punto D , de modo que AD, DB sean rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Entonces queda claro que AC no es la misma que DB. Pues, si es posible, séalo. Entonces AD será también la misma que CB; y como AC es a CB, así será BD a DA, AB resultará dividida también por el punto D de la misma manera que por el punto C; lo cual precisamente se ha supuesto que no. Luego AC no es la misma que DB. Por eso los puntos C, D tampoco están a igual distancia del punto de bisección. Luego en aquello en lo que los cuadrados de AC, CB difieren de los cuadrados de AD, DB, en eso difieren también el doble del rectángulo comprendido por AD, DB del doble del rectángulo comprendido por AC, CB, porque, tanto los cuadrados de AC, CB junto con el doble del rectángulo comprendido por AC, CB, como los cuadrados de AD, DB junto con el doble del rectángulo comprendido por AD, DB son iguales al cuadrado de AB [Prop. II.4]. Pero los cuadrados de AC, CB difieren de los cuadrados de AD, DB en un área racional; pues ambos son racionales; luego el doble del rectángulo comprendido por AD, DB también difiere del doble del rectángulo comprendido por AC, CB en un área racional, aún siendo medial [Prop. X.21]; lo cual es absurdo; porque un área medial no excede a otra área medial en un área racional [Prop. X.26].
Q. E. D.