Si de una recta medial se quita otra medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda con la recta entera un rectángulo medial, la recta restante es irracional; llámesela segunda apótoma de una medial.
Quítese, pues, de la recta medial AB , la recta CB que es conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera AB y comprende con la recta entera AB el rectángulo medial AB, BC [Prop. X.28]. Digo que la recta restante AC es irracional; llámesela segunda apótoma de una medial.
Póngase, pues, la recta racional DI y aplíquese a DI un paralelogramo DE igual a los cuadrados de AB, BC que produzca la anchura DG y aplíquese a CI el paralelogramo DH igual al doble del rectángulo comprendido por AB, BC que produzca la anchura DF ; entonces el resto FE es igual al cuadrado de AC [ Prop. II.7]: ahora bien, puesto que los cuadrados de AB, BC son mediales y conmensurables, entonces DE es también medial [Prop. X.15 y Cor. Prop. X.23]. Y se ha aplicado a la recta racional DI produciendo la anchura DG. Por tanto DG es racional e inconmensurable en longitud con DI [Prop. X.22]. Puesto que el rectángulo comprendido por AB, BC es, a su vez, medial, entonces el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es también medial [Cor. Prop. X.23]. Y es igual a DH; luego DH es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional DI produciendo la anchura DF; así pues, DF es racional e inconmensurable en longitud con DI [Prop. X.22]. Y puesto que AB es conmensurable sólo en cuadrado con BC, entonces AB es inconmensurable en longitud con BC; luego el cuadrado de AB es también inconmensurable con el rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. X.11]. Pero los cuadrados de AB, BC son conmensurables con el cuadrado de AB [Prop. X.15], y el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es conmensurable con el rectángulo comprendido por AB, BC [Prop. X.6]; entonces el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es inconmensurable con los cuadrados de AB, BC [Prop. X.13]. Pero DE es igual a los cuadrados de AB, BC, mientras que DH es igual al doble del rectángulo comprendido por AB, BC; entonces DE es inconmensurable con DH. Pero como DE es a DH, así GD a DF [Prop. VI.1]; así pues GD es inconmensurable con DF [Prop. X.11]. Y ambas son racionales; entonces GD, DF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego FG es apótoma [Prop. X.73]. Pero DI es racional; y el rectángulo comprendido por una recta racional y una irracional es irracional [Prop. X.20], y el lado del cuadrado equivalente no es racional. Ahora bien, AC es el lado del cuadrado equivalente a FE; por consiguiente, AC es irracional; llámesela segunda apótoma de una medial.
Q. E. D.