A una recta «menor» se le adjunta únicamente una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados racional y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial.
Sea AB la recta «menor» , y sea BC la adjunta a AB ; entonces AC, CB son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados racional y el rectángulo comprendido por ellas medial [Prop. X.76]. Digo que no se adjuntará otra recta a AB que cumpla las mismas condiciones.
Pues, si es posible, adjúntese BD ; entonces AD, DB son rectas inconmensurables en cuadrado que cumplen las condiciones antedichas [Prop. X.76]. Ahora bien, como aquello en lo que exceden los cuadrados de AD, DB a los cuadrados de AC, CB, en eso excede también el doble del rectángulo comprendido por AD, DB al doble del rectángulo comprendido por AC, CB y los cuadrados de AD, DB exceden a los cuadrados de AC, CB en un área racional, porque ambos son racionales, entonces el doble del rectángulo comprendido por AD, DB excede al doble del rectángulo comprendido por AC, CB en un área racional; lo cual es imposible, porque ambos son mediales [Prop. X.26]. Por consiguiente, a una recta «menor» se le adjunta únicamente una recta que sea inconmensurable con la recta entera y que haga con la recta entera la suma de sus cuadrados racional y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial.
Q. E. D.