La recta segunda bimedial se divide por un sólo punto.
Sea dividida la recta segunda bimedial AB por el punto C , de modo que AC, CB sean rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial [Prop. X.38]; entonces queda claro que C no es el punto de bisección, porque los segmentos no son conmensurables en longitud. Digo que AB no se divide por otro punto.
Pues, si es posible, divídase por el punto D , de modo que AC no sea la misma que DB, sino que AC sea por hipótesis mayor; entonces es evidente que los cuadrados de AD, DB, según hemos demostrado más arriba [Lema Prop. X.44] también son menores que los cuadrados de AC, CB; supóngase que AD, DB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial. Y póngase la recta racional EF, y aplíquese a EF un paralelogramo rectángulo, EK, igual al cuadrado de AB; quítese, por otra parte, EG igual a los cuadrados de AC, CB; entonces el resto HK es igual al doble del rectángulo comprendido por AC, CB [Prop. II.4]. Quítese, a su vez, EL igual a los cuadrados de AC, CB que precisamente se ha demostrado que son menores que los de AC, CB [Lema Prop. X.44]; entonces el rectángulo restante MK es también igual al doble del rectángulo comprendido por AD, DB. Y como los cuadrados de AC, CB son mediales, entonces EG es medial. Y se ha aplicado a la recta racional EF, luego EH es racional e inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Por lo mismo, entonces, HN es también racional e inconmensurable en longitud con EF. Y puesto que AC, CB son mediales y conmensurables sólo en cuadrado, entonces AC es inconmensurable en longitud con CB. Pero, como AC es a CB, así el cuadrado de AC es al rectángulo comprendido por AC, CB; entonces el cuadrado de AC es inconmensurable con el rectángulo comprendido por AC, CB [Prop. X.11]: pero los cuadrados de AC, CB son conmensurables con el cuadrado de AC; porque AC, CB son conmensurables en cuadrado [Prop. X.15]. Ahora bien, el doble del rectángulo comprendido por AC, CB es conmensurable con el rectángulo comprendido por AC, CB [Prop. X.6]. Entonces los cuadrados de AC, CB son también inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por AC, CB [Prop. X.13]. Pero EG es igual a los cuadrados de AC, CB, mientras que HK es igual al doble del rectángulo comprendido por AC, CB; luego EG es inconmensurable con HK; de modo que EH es también inconmensurable en longitud con HN [Prop. VU.1; Prop. X.11]. Y son racionales; entonces EH, HN son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Pero si se suman dos rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, la recta entera, la llamada binomial, no es racional; entonces EN es una recta binomial dividida por el punto H. Siguiendo el mismo procedimiento se demostraría que EM, MN son racionales y conmensurables sólo en cuadrado; y EN será una recta binomial dividida por los puntos diferentes H, M; ahora bien, EH no es la misma que MN, porque los cuadrados de AC, CB son mayores que los cuadrados de AD, DB. Pero los cuadrados de AD, DB son mayores que el doble del rectángulo comprendido por AD, DB; luego los cuadrados de AC, CB, es decir EG, son mucho mayores que el doble del rectángulo comprendido por AD, DB, es decir, MK; de modo que EH es también mayor que MN. Por consiguiente, EH no es la misma que MN.
Q. E. D.