Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y haga con la recta entera la suma de sus cuadrados racional y el rectángulo comprendido por ellas medial, la recta restante es irracional; llámesela «menor».
Quítese de la recta AB la recta BC que es inconmensurable en cuadrado con la recta entera y cumple las condiciones antedichas [Prop. X.33]. Digo que AC = AB - BC es la recta irracional llamada «menor».
Pues como AB2 + BC2 es racional, y 2AB·BC medial, entonces AB2 + BC2 es inconmensurable con 2AB·BC; y por conversión AB2 + BC2 es inconmensurable con el resto, AC2 [Prop. II.7 y Prop. X.16]. Pero AB2 + BC2 es racional, luego AC2 es irracional; por consiguiente, AC es irracional; llámesela «menor».
Q. E. D.