Si un área está comprendida por una recta racional y una cuarta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta irracional llamada «mayor».
Esté, pues, comprendida el área AC por la recta racional AB y la cuarta binomial AD , dividida por el punto E en sus términos, de los cuales sea mayor AE . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AC es la recta irracional llamada «mayor».
Pues como AD es una cuarta binomial, entonces AE, ED son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de AE es mayor que el de ED en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella AE, y AE es conmensurable en longitud con AB [Def. X-II-4]. Divídase DE en dos partes iguales por el punto F , y aplíquese a AE un paralelogramo, el rectángulo comprendido por AG, GE, igual al cuadrado de EF . Entonces AG es inconmensurable en longitud con GE [Prop. X.18]; trácense GH, EK, FL paralelas a AB , y sígase la misma construcción que en las proposiciones anteriores ; queda claro, entonces, que MO es el lado del cuadrado equivalente al área AC.
Hay que demostrar ahora que MO es la recta irracional llamada «mayor».
Puesto que AG es inconmensurable en longitud con EG, el rectángulo AH es inconmensurable también con el rectángulo GK, es decir el cuadrado SN con el cuadrado NQ; entonces MN, NO son inconmensurables en cuadrado. Y como AE es conmensurable en longitud con AB, AK es racional [Prop. X.19]; y es igual a los cuadrados de MN, NO; entonces la suma de los cuadrados de MN, NO es también racional. Ahora bien, puesto que DE es inconmensurable en longitud con AB, es decir con EK, mientras que DE es conmensurable con EF, entonces EF es inconmensurable en longitud con EK [Prop. X.13]. Por tanto, EK, EF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego AE, es decir MR, es medial [Prop. X.21]. Y está comprendida por MN, NO; luego el rectángulo comprendido por MN, NO es medial. Y la suma de los cuadrados de MN, NO es racional, y MN, NO son inconmensurables en cuadrado. Pero, si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados racional y el rectángulo comprendido por ellas medial, la recta entera es irracional y se llama «mayor» [Prop. X.39]. Por consiguiente, MO es la recta irracional llamada «mayor» y es el lado del cuadrado equivalente al área AC.
Q. E. D.