Hallar dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable con ella la mayor.
Pónganse tres rectas racionales A, B, C conmensurables sólo en cuadrado , de modo que el cuadrado de A sea mayor que el de C en el cuadrado de una recta conmensurable con ella A [Prop. X.29]; y sea el cuadrado de D igual al rectángulo comprendido por A, B . Entonces el cuadrado de D es medial; luego D es medial [Prop. X.21]. Pero sea el rectángulo comprendido por D, E igual al rectángulo comprendido por B, C . Y dado que, como el rectángulo comprendido por A, B es al rectángulo comprendido por B, C, así A es a C; mientras que el cuadrado de D es igual al rectángulo comprendido por A, B y el rectángulo comprendido por D, E es igual al rectángulo comprendido por B, C; entonces, como A es a C, así el cuadrado de D es al rectángulo comprendido por D, E. Pero como el cuadrado de D es al rectángulo comprendido por D, E, así D a E; luego como A es a C, así D a E. Pero A es conmensurable con D sólo en cuadrado. Entonces D es conmensurable con E sólo en cuadrado [Prop. X.11]. Pero D es medial. Luego E es también medial [Prop. X.23]. Ahora bien, dado que, como A es a C, D es a E, mientras que el cuadrado de A es mayor que el de C en el cuadrado de una recta conmensurable con ella A, entonces el cuadrado de D será también mayor que el de E en el cuadrado de una recta conmensurable con ella D [Prop. X.14]. Digo además que el rectángulo comprendido por D, E es también medial.
Pues como el rectángulo comprendido por B, C es igual al rectángulo comprendido por D, E y el rectángulo comprendido por B, C es medial [Prop. X.21], entonces el rectángulo comprendido por D, E es también medial. Por consiguiente, se han hallado dos rectas mediales D, E conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo medial, de modo que el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable con ella la mayor.
De manera semejante se demostraría también que el cuadrado de D es mayor que el de E a su vez en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella D, siempre que el cuadrado de A sea mayor que el de C en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella A.
Q. E. D.