Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial y además sus cuadrados inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por ellas, entonces la recta restante no es racional; llámesela la que hace con un área medial un área entera medial.
Quítese, pues, de la recta AB la recta BC que sea inconmensurable en cuadrado con AB y que cumpla las condiciones antedichas [Prop. X.35]. Digo que la recta restante AC es la recta no racional llamada la que hace con un área medial un área entera medial.
Póngase, pues, la recta racional DI y aplíquese a DI el rectángulo DE igual a los cuadrados de AB, BC que produzca la anchura DG , y quítese DH igual al doble del rectángulo comprendido por AB, BC . Entonces el rectángulo restante FE es igual al cuadrado de AC [Prop. II.7]; de modo que AC es el lado del cuadrado equivalente a FE. Ahora bien, puesto que la suma de los cuadrados de AB, BC es medial y es igual a DE, entonces DE es medial. Y se ha aplicado a la recta racional DI produciendo la anchura DG; luego DG es racional e inconmensurable en longitud con DI [Prop. X.22]. Puesto que el doble del rectángulo comprendido por AB, BC es, a su vez, medial y es igual a DH, entonces DH es medial; y se ha aplicado a la recta racional DI produciendo la anchura DF; luego DF es también racional e inconmensurable en longitud con DI [Prop. X.22]. Y como los cuadrados de AB, BC son inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC, entonces DE es también inconmensurable con DH. Pero como DE es a DH, así DG a DF [Prop. VI.1]; luego DG es inconmensurable con DF [Prop. X.11]. Y ambas son racionales; entonces GD, DF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Luego FG es apótoma [Prop. X.73]. Y FH es racional. Pero el rectángulo comprendido por una recta racional y una apótoma no es racional [Prop. X.20] y el lado del cuadrado equivalente a él no es racional; ahora bien, AC es el lado del cuadrado equivalente a FE; por consiguiente, AC no es racional; llámesela la que hace con un área medial un área entera medial.
Q. E. D.