La recta conmensurable con una recta medial es medial.

Sea A una recta medial Paso 1, y sea B conmensurable con A Paso 2. Digo que B es también medial.

Póngase, pues, la recta racional CD, y aplíquese CD⋅ED = A² Paso 3; entonces ED es racional e inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.22]. Pero aplíquese CD⋅DF = B² Paso 4. Entonces, dado que A es conmensurable con B, A² es también conmensurable con B². Pero CD⋅ED = A², mientras que CD⋅ED = B²; por tanto, CD⋅ED es conmensurable con CD⋅ED. Ahora bien, CD⋅ED / CD⋅DF = ED / DF [Prop. VI.1]; entonces ED es conmensurable en longitud con DF [Prop. X.11]; pero ED es racional e inconmensurable en longitud con DC; entonces DC es racional [Def. X.3] e inconmensurable en longitud con DC [Prop. X.13]; luego CD, DF son racionales y conmensurables sólo en cuadrado. Pero la recta cuyo cuadrado es igual al rectángulo comprendido por rectas racionales y conmensurables sólo en cuadrado es medial [Prop. X.21]. Luego la recta cuyo cuadrado es igual a CD⋅DF es medial; y B² = CD⋅DF. Por consiguiente, B es medial.

Q. E. D.

A partir de esto queda claro que un área conmensurable con un área medial es medial. De acuerdo con lo que se ha dicho acerca de las rectas racionales [Lema Prop. X.19] se sigue, en lo que se refiere a las mediales, que la recta conmensurable en longitud con una medial se llama medial y es conmensurable con ella no sólo en longitud sino también en cuadrado, porque, en general, las rectas conmensurables en longitud lo son siempre también en cuadrado. Pero si una recta es conmensurable en cuadrado con una medial, y si lo es también en longitud, en este caso se llaman también mediales y conmensurables en longitud y en cuadrado, pero si sólo lo son en cuadrado, se llaman mediales conmensurables sólo en cuadrado.