Hallar dos rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella la mayor.
Póngase, pues, la recta racional AB y los dos números cuadrados CE, ED tales que su suma, CD no sea un número cuadrado [Lema 2 Prop. X.29]. Y descríbase sobre AB el semicírculo AFB , y hágase de forma que como DC es a CE, así el cuadrado de BA al cuadrado de AF [Cor. Prop. X.6], y trácese FB . De manera semejante a la proposición anterior demostraríamos que BA, AF son racionales y conmensurables sólo en cuadrado. Ahora bien, dado que, como DC es a CE, así el cuadrado de BA al cuadrado de AF, entonces, por conversión, como CD es a DE, así el cuadrado de AB al cuadrado de BF [Cor. Prop. V.19.; Prop. III.31, Prop. I.47]. Pero CA no guarda con DE la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Entonces el cuadrado de AB tampoco guarda con el cuadrado de BF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego AB es inconmensurable en longitud con BF [Prop. X.9]. Y el cuadrado de AB es mayor que el de AF en el cuadrado de la recta FB inconmensurable con ella AB.
Q. E. D.