A la recta que hace con un área medial un área entera medial se le adjunta únicamente una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga, con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas también medial y además inconmensurable con la suma de sus cuadrados.

Sea AB la recta que hace junto con un área medial un área entera medial Paso 1, y BC la adjunta a ella Paso 2. Entonces AC, CB son rectas inconmensurables en cuadrado que cumplen las condiciones mencionadas [Prop. X.78]. Digo que no se adjuntará a AB otra recta que cumpla lo antedicho.

Pues, si es posible, adjúntese BD Paso 3, de modo que AD, DB sean también rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de los cuadrados de AD, DB medial, el doble del rectángulo comprendido por ellas también medial y además los cuadrados de AD, DB inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por AD, DB [Prop. X.78]. Póngase la recta racional EF Paso 4, y aplíquese a EF el rectángulo EG igual a los cuadrados de AC, CB que produzca la anchura EM Paso 5, y aplíquese a EF el rectángulo HG igual al doble del rectángulo comprendido por AC, CB que produzca la anchura HM Paso 6; entonces el resto, el cuadrado de AB, es igual a EL [Prop. II.7]; luego AB es el lado del cuadrado equivalente a EL. Aplíquese, a su vez, a la recta EF el rectángulo EI igual a los cuadrados de AD, DB que produzca la anchura EN Paso 7. Pero el cuadrado de AB es también igual a EL; entonces el resto, el doble del rectángulo comprendido por AD, DB [Prop. II.7] es igual a HI. Ahora bien, como la suma de los cuadrados de AC, CB es medial y es igual a EG, entonces EG es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional EF produciendo la anchura EM; luego EM es racional e inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Puesto que el doble del rectángulo comprendido por AC, CB es, a su vez, medial y es igual a HG, entonces HG es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional EF produciendo la anchura HM; luego HM es racional e inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Y como los cuadrados de AC, CB son inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por AC, CB, EG es también inconmensurable con HG; entonces EM es inconmensurable en longitud con MH [Prop. VI.1 y Prop. X.11]. Y ambos son racionales; luego EM, MH son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, EH es apótoma y HM la adjunta a ella [Prop. X.73]. De manera semejante demostraríamos, a su vez, que EH es apótoma y HN la adjunta a ella. Entonces se adjuntan a una apótoma dos rectas racionales diferentes que son conmensurables sólo en cuadrado con la recta entera; lo que se ha demostrado imposible [Prop. X.79]. Por tanto, ninguna otra recta se adjuntará a AB. Por consiguiente, a la recta AB se le adjunta únicamente una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga, con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial, el doble del rectángulo comprendido por ellas, medial y además la suma de sus cuadrados inconmensurable con el doble del rectángulo comprendido por ellas.

Q. E. D.