El cuadrado de una recta racional, aplicado a una apótoma, produce como anchura una recta binomial cuyos términos son conmensurables con los términos de la apótoma y guardan la misma razón, y además la binomial resultante es del mismo orden que la apótoma.

Sea, pues, A la recta racional Paso 1 y BD la apótoma Paso 2, y sea BD·KH = A² Paso 3. Digo que KH es una binomial cuyos términos son conmensurables con los términos de BD y guardan la misma razón, y además KH es del mismo orden que BD.

Pues sea DC la recta adjunta a BD Paso 4; entonces BC, CD son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.73]. Y sea BC·G = A² Paso 5. Pero A² es racional; entonces BC·G es también racional. Y se ha aplicado a la recta racional BC; luego G es racional y conmensurable en longitud con BC [Prop. X.20]. Pues bien, como BC·G = BD·KH, entonces, proporcionalmente, como CB / BD = KH / G [Prop. VI.16]. Pero BC > BD, entonces KH > G [Prop. VI.16 y Prop. V.14]. Hágase KE = G Paso 6; entonces KE es conmensurable en longitud con BC. Ahora bien, dado que CB / BD = HK / KE, entonces, por conversión, BC / CD = KH / HE [Cor. Prop. V.19]. Hágase de forma que KH / HE = HF / FE Paso 7; entonces KF / FH = KH / HE, es decir, BC / CD [Prop. V.19]. Pero BC, CD son conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.11]. Luego también KF, FH son conmensurables sólo en cuadrado. Y dado que, KH/HE = KF/FH, mientras que, KH / HE = HF / FE, entonces, KF / FH = HF / FE [Prop. V.11]; de modo que también como la primera es a la tercera, el cuadrado de la primera es al cuadrado de la segunda [Def. V-9]; luego también, KF / FE = KF² / FH². Pero KF² es conmensurable con FH², porque KF, FH son conmensurables en cuadrado; entonces KF es también conmensurable en longitud con FE [Prop. X.11]; de modo que KF es también conmensurable en longitud con KE [Prop. X.15]. Pero KE es racional y conmensurable en longitud con BC; entonces, KF también será racional y conmensurable en longitud con BC [Prop. X.12]. Y puesto que, BC / CD = KF / FH, por alternancia, BC / KF = DC / FH [Prop. V.16]. Pero BC es conmensurable con KF; así pues, FH es conmensurable en longitud con CD [Prop. X.11]. Pero BC, CD son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego KF, FH son rectas racionales [Def. X-I-3] conmensurables sólo en cuadrado; por tanto KH es binomial. Pues bien, si el cuadrado de BC es mayor que el de CD en el cuadrado de una recta conmensurable con ella BC, también el cuadrado de KF será mayor que el de FH en el cuadrado de una recta conmensurable con ella KF [Prop. X.14]. Y si BC es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, también KF lo será, pero si CD es conmensurable con la recta racional propuesta, también FH lo será, y si ninguna de las rectas BC, CD lo es, ninguna de las rectas KF, FH lo será. Ahora bien, si el cuadrado de BC es mayor que el de CD en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella BC, el cuadrado de KF será también mayor que el de FH en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella KF [Prop. X.14]. Y si BC es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, KF también lo será, pero si lo es CD, FH también lo será, y si ninguna de las rectas BC, CD lo es, ninguna de las rectas KF, FH lo será. Por consiguiente, KH es una binomial cuyos términos KF, FH son conmensurables con los términos BC, CD de la apótoma, y guardan la misma razón y además KH es del mismo orden que BC.

Q. E. D.