El cuadrado de una segunda apótoma de una medial, aplicado a una recta racional, produce como anchura una tercera apótoma.
Sea AB la segunda apótoma de una medial , y CD la recta racional , y aplíquese CD·CF = AB2 . Digo que CF es una tercera apótoma.
Sea, pues, BG la adjunta a AB ; entonces AG, GB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo medial [Prop. X.75]. Y aplíquese CD·CK = AG2 , y aplíquese CD·KM = GB2 ; entonces el área entera CD·CM = AG2+GB2; luego CD·CM es también medial [Prop. X.15 y Cor. Prop. X.23]. Y se ha aplicado a la recta racional CD produciendo la anchura CM; por tanto CM es racional e inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.23]. Y como el área entera CD·CM = AG2+GB2, donde CD·CF = AB2 , entonces el área restante CD·FM = 2AG·GB [Prop. II.7], Pues bien, divídase FM en dos partes iguales por el punto N , y trácese NO paralela a CD ; entonces CD·FN = CD·NM = AG·GB. Pero AG·GB es medial; entonces CD·FM es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional EF produciendo la anchura FM; luego FM es también racional e inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.22]. Y como AG, GB son conmensurables sólo en cuadrado, entonces AG es inconmensurable en longitud con GB; luego AG2 es también inconmensurable con AG·GB [Prop. VI.1 y Prop. X.11], Pero AG2+GB2 es conmensurable con AG2, y 2AG·GB con AG·GB; así pues, AG2+GB2 es inconmensurable con 2AG·GB [Prop. X.13]. Pero CD·CM = AG2+GB2, mientras que CD·FM = 2AG·GB; entonces CD·CM es inconmensurable con CD·FM. Pero CD·CM / CD·FM = CM / FM [Prop. VI.1]. Entonces, CM es inconmensurable en longitud con FM. Y ambas son racionales; luego CM, MF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto CF es apótoma [Prop. X.73].
Digo ahora que también es tercera.
Pues como el cuadrado de AG es conmensurable con el cuadrado de GB, entonces CD·CK es conmensurable con CD·KM; de modo que CK lo es también con KM [Prop. VI.1 y Prop. X.11], Y como el rectángulo comprendido por AG, GB es media proporcional de los cuadrados de AG, GB, y CD·CK = AG2, mientras que CD·KM = GB2, y CD·NM = AG·GB, entonces CD·NM es también media proporcional de CD·CK, CD·KM; luego, CD·CK / CD·NM = CD·NM / CD·KM. Pero CD·CK / CD·NM = CK / NM, y CD·NM / CD·KM = NM / KM [Prop. VI.1]; entonces, CK / MN = MN / KM [Prop. V.11]; luego CK·KM = MN2, es decir a (1/4)FM2. Pues bien, como CM, MF son dos rectas desiguales y se ha aplicado a CM un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de FM, deficiente en la figura de un cuadrado y la divide en partes conmensurables, entonces el cuadrado de CM es mayor que el de MF en el cuadrado de una recta conmensurable con ella CM [Prop. X.17]; y ninguna de las rectas CM, MF es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta CD; por tanto CF es una tercera apótoma [Def. X-III-3]. Por consiguiente, el cuadrado de una segunda apótoma de una medial, aplicado a una recta racional produce como anchura una tercera apótoma.
Q. E. D.