Hallar la tercera apótoma.
Póngase la recta racional A , y pónganse tres números E, BC, CD que no guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero guarde CB con BD la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y hágase de forma que, como E es a BC, así el cuadrado de A al cuadrado de FG , y como BC es a CD, así el cuadrado de FG al cuadrado de GH [Cor. Prop. X.6]. Así pues, dado que, como E es a BC, así el cuadrado de A al cuadrado de FG, entonces el cuadrado de A es conmensurable con el cuadrado de FG [Prop. X.6]. Y el cuadrado de A es racional. Luego el cuadrado de FG es también racional; por tanto, FG es racional. Y como E no guarda con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de A tampoco guarda con el de FG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego A es inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.9]. A su vez, dado que, como BC es a CD, así el cuadrado de FG al de GH, entonces el cuadrado de FG es conmensurable con el cuadrado de GH [Prop. X.6]. Pero el cuadrado de GH es racional; luego el cuadrado de GH es también racional; por tanto, GH es racional. Ahora bien, puesto que BC no guarda con CD la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de FG tampoco guarda con el cuadrado de GH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego FG es inconmensurable en longitud con GH [Prop. X.9]: y ambas son racionales; así pues FG, GH son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Por tanto, FH es una apótoma [Prop. X.73].
Digo ahora que también es tercera.
Pues dado que, como E es a BC, así el cuadrado de A al de FG, mientras que como BC es a CD, así el cuadrado de FG al de HG, entonces, por igualdad, como E es a CD, así el cuadrado de A al de HG [Prop. V.22]. Pero E no guarda con CD la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de A tampoco guarda con el de GH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego A es inconmensurable en longitud con GH [Prop. X.9]. Por tanto, ninguna de las rectas FG, GH es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, A. Pues bien, sea el cuadrado de K aquello en lo que el cuadrado de FG es mayor que el de GH . Así pues, dado que, como BC es a CD, así el cuadrado de FG al cuadrado de GH, entonces, por conversión, como BC es a BD, así el cuadrado de FG al de K [Cor. Prop. V.19]. Pero BC guarda con BD la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de FG guarda con el de K la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego FG es conmensurable en longitud con K [Prop. X.9], y el cuadrado de FG es mayor que el de GH en el cuadrado de una recta conmensurable con ella FG. Y además ninguna de las rectas FG, GH es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta A; por tanto, FH es una tercera apótoma. Por consiguiente, se ha hallado la tercera apótoma FH.
Q. E. D.