Si en un pentágono equilátero y equiangular, unas rectas subtienden dos ángulos sucesivos, se cortan entre sí en extrema y media razón y sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono.
Subtiendan las rectas AC, BE que se cortan en el punto H a los dos ángulos sucesivos correspondientes a A, B del pentágono equilátero y equiangular ⬠ABCDE . Digo que cada una de ellas queda cortada en extrema y media razón por el punto H, y que sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono.
Circunscríbase, pues, en torno al pentágono ⬠ABCDE, el círculo ◯ABCDE . Y como EA = AB, AB = BC y comprenden ángulos iguales, entonces, BE = AC, y △ABE = △ABC y los ángulos restantes, aquellos a los que subtienden los lados iguales, serán también iguales respectivamente [Prop. I.4]. Entonces ∠BAC = ∠ABE; luego ∠AHE = 2∠BAC, porque el arco de circunferencia ◜EDC es también el doble del arco de circunferencia ◜CB [Prop. III.28, Prop. VI.33]; entonces ∠HAE = ∠AHE; de modo que también HE = EA, es decir, es igual a AB [Prop. I.6]. Y como BA = AE, también ∠ABE =∠ AEB [Prop. I.5]. Pero se ha demostrado que ∠ABE = ∠BAH; luego ∠BEA = ∠BAH. Y ∠ABE es común a los dos triángulos △ABE y △ABH; entonces ∠BAE = ∠AHB [Prop. I.32]; luego el triángulo △ABE tiene sus ángulos iguales a los del triángulo △ABH; por tanto, proporcionalmente, EB / BA = AB / BH [Prop. VI.4]. Pero BA = EH; entonces, BE / EH = EH / HB . Pero BE ⊐ EH; luego EH ⊐ HB [[Prop. I.4]Prop. V.14]. Por tanto, BE queda cortada en extrema y media razón por el punto H, y su segmento mayor HE es igual al lado del pentágono. De manera semejante demostraríamos que AC también queda cortada en extrema y media razón por el punto H, y que su segmento mayor CH; es igual al lado del pentágono.
Q. E. D.