Si se unen el lado de un hexágono y el de un decágono inscritos en el mismo círculo, la recta entera queda cortada en extrema y media razón, y su segmento mayor es el lado del hexágono.
Sea ABC el círculo y, de las figuras inscritas en el círculo ABC, sea BC el lado del decágono y CD el del hexágono , y estén en línea recta. Digo que la recta entera BD queda cortada en extrema y media razón y que su segmento mayor es el lado del hexágono.
Tómese, pues, el punto E como centro del círculo , y trácense EB, EC, ED , y prolónguese BE hasta A. Como BC es el lado del decágono equilátero, entonces la circunferencia ACB es cinco veces la circunferencia BC; luego la circunferencia AC es el cuádruple de CB. Pero, como la circunferncia AC es a la circunferencia CB, así el ángulo AEC al ángulo CEB [Prop. VI.33]; entonces el ángulo AEC es el cuádruple del ángulo CEB. Y como el ángulo EBC es igual al ángulo ECB [Prop. I.5], entonces el ángulo AEC es el doble del ángulo ECB [Prop. I.32]. Y como la recta EC es igual a la recta CD, porque cada una de ellas es igual al lado del hexágono inscrito en el círculo ABC [Cor. Prop. IV.15], el ángulo CED es también igual al ángulo CDE [Prop. I.5]; entonces el ángulo ECB es el doble del ángulo EDC [Prop. I.32]. Pero se ha demostrado que el ángulo ECB es el doble del ángulo AEC; luego el ángulo AEC es el cuádruple del ángulo EDC. Pero se ha demostrado que el ángulo AEC es el cuádruple del ángulo BEC; luego el ángulo EDC es igual al ángulo BEC. Ahora bien, el ángulo EBD es común a los dos triángulos BEC y BED; entonces el ángulo restante BED es igual al ángulo restante ECB [Prop. I.32]; luego el triángulo EBD es de ángulos iguales a los del triángulo EBC. Por tanto, proporcionalmente, como DB es a BE, así EB a BC [Prop. VI.4]. Pero EB es igual a CD. Luego, como BD es a DC, así DC a CB. Pero BD es mayor que DC; entonces DC también es mayor que CB. Por tanto, BD queda dividida en extrema y media razón y su segmento mayor es DC.
Q. E. D.