Si tres ángulos de un pentágono equilátero, sean sucesivos o no, son iguales, el pentágono será equiangular.
Sean, pues, en primer lugar, iguales entre sí, los tres ángulos ∠A, ∠B, ∠C, del pentágono equilátero ⬠ABCDE . Digo que el pentágono ⬠ABCDE es equiangular.
Pues trácense AC, BE, FD . Y como CB = BA, BA = AE, y ∠CBA = ∠BAE, entonces, AC = BE, y △ABC =△ABE y los ángulos restantes, aquellos a los que subtienden los lados iguales, serán también iguales respectivamente [Prop. I.4] , es decir: ∠BCA = ∠BEA, y ∠ABE = ∠CAB; de modo que AF = BF [Prop. I.6]. Pero se ha demostrado que AC = BE; luego FC = AF - AC = BF - BE = FE. Pero CD = DE. Entonces FC = FE, CD = ED; y su base FD es común; entonces ∠FCD = ∠FED [Prop. I.8]. Pero se ha demostrado que ∠BCA = ∠AEB; entonces ∠BCD = ∠AED. Ahora bien, se ha supuesto que ∠BCD = ∠A = ∠B; luego ∠AED = ∠A = ∠B. De manera semejante demostraríamos que ∠CDE = ∠A = ∠B = ∠C. Por tanto, el pentágono ⬠ABCDE es equiangular.
Pero ahora no sean iguales los ángulos sucesivos, sino que sean iguales los correspondientes a los puntos A, C, D . Digo que también en este caso el pentágono ABCDE es equiangular.
Trácese, pues, BD . Y como BA = BC, AE = CD y comprenden ángulos iguales, entonces BE = BD, y △ABE = △BCD, y los ángulos restantes, aquellos a los que subtienden ángulos iguales, serán también iguales respectivamente [Prop. I.4] . Luego ∠AEB = ∠CDB. Pero ∠BED = ∠BDE, porque BE = BD [Prop. I.5]. Entonces, ∠AED = ∠CDE. Pero se ha supuesto que ∠CDE = ∠A = ∠C; luego ∠AED = ∠A = ∠C. Por lo mismo ∠ABC = ∠A = ∠C = ∠D. Por consiguiente, el pentágono ⬠ABCDE es equiangular.
Q. E. D.