Si el cuadrado de una línea recta es cinco veces el de un segmento de ella, cuando se corta el doble de dicho segmento en extrema y media razón, el segmento mayor es la parte restante de la recta inicial.

Sea, pues, AB² = 5AC² Paso 2, y sea CD = 2AC Paso 3. Digo que si CD / CB = CB / BD , entonces CB > BD.

Pues constrúyanse los cuadrados ◻AF Paso 4, ◻CG Paso 5 de AB, CD respectivamente, e inscríbase la figura en AF; trácese BE Paso 6. Y como AB² = 5AC², entonces AF² = 5AH² Paso 7. Entonces ◱BFLPHC= 4AH². Y como DC = 2CA, entonces DC² = 4CA², es decir ◻CG = 4◻AH. Pero se ha demostrado que ◱BFLPHC = 4AH²; luego ◱BFLPHC = ◻CG. Y como DC = 2CA, mientras que DC = CK, y AC = CH, entonces ◻KB = 2◻BH [Prop. VI.1]. Pero ◻LH + ◻HB = 2◻HB; luego ◻KB = ◻LH + ◻HB. Pero se ha demostrado que ◱BFLPHC = ◻CG; entonces ◻HF =▭BG. Y ▭BG =CD⋅DB, porque CD = DG; pero ◻HF = CB²; luego CD⋅DB = CB². Por tanto, DC / CB = CB / BD . Ahora bien, DC > CB, entonces también CB > BD. Luego, si CD / CB = CB / BD , entonces CB > BD.

Q. E. D.