Construir un icosaedro y envolverlo en una esfera, como en las figuras antedichas, y demostrar que el lado del icosaedro es la recta sin razón expresable llamada «menor».
Póngase AB como diámetro de la esfera dada y córtese por el punto C de modo que AC = 4CB ; descríbase sobre AB el semicírculo ADB ; trácese desde C la línea recta CD perpendicular a AB , y trácese DB ; póngase el círculo ◯EFGHK, cuyo radio sea igual a DB, e inscríbase en el círculo ◯EFGHK el pentágono equilátero y equiangular ⬠EFGHK ; divídanse en dos partes iguales los arcos de circunferencias EF, FG, GH, HK, KE por los puntos L, M, N, O, P, y trácense LM, MN, NO, OP, PL, EP . Entonces, el pentágono ⬠LMNOP es también equilátero, y la recta EP es el lado de un decágono. Y desde los puntos E, F, G, H, K, levántense las rectas EQ, FR, GS, HT, KU perpendiculares al plano del círculo y sean iguales al radio del círculo ◯EFGHK ; trácense QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, PQ . Y como cada una de las rectas EQ, KU es perpendicular al mismo plano, entonces EQ es paralela a KU [Prop. XI.6].. Pero también es igual a ella. Y las rectas que unen por los extremos del mismo lado a rectas iguales y paralelas, son también ellas mismas iguales y paralelas [Prop. I.33]. Entonces QU es igual y paralela a EK. Pero EK es un lado del pentágono equilátero; luego QU también es un lado del pentágono equilátero inscrito en el círculo ◯EFGHK. Por lo mismo, cada una de las rectas QR, RS, ST, TU es un lado del pentágono equilátero inscrito en el círculo ◯EFGHK; luego el pentágono ⬠QRSTU es equilátero. Y como QE es el lado de un hexágono mientras que EP es el lado de un decágono, y el ángulo ∠QEP es recto, entonces QP es el lado de un pentágono, porque el cuadrado del lado del pentágono es igual al cuadrado del lado del hexágono y el del decágono inscritos en el mismo círculo [Prop. XIII.10]. Por lo mismo, PU es también un lado del pentágono. Pero QU es también un lado del pentágono; luego el triángulo △QPU es equilátero. Por lo mismo cada uno de los triángulos △QLR, △RMS, △SNT, △TOU es equilátero. Y como se ha demostrado que cada una de las rectas QL, QP es un lado del pentágono, LP también es un lado del pentágono, entonces el triángulo △QLP es equilátero. Por lo mismo, cada uno de los triángulos △LRM, △MSN, △NTO, △OUP es equilátero.
Tómese el punto V como centro del círculo ◯EFGHK ; y a partir de V, levántese VZ perpendicular al plano del círculo y prolónguese hacia el otro lado como VX , y quítese VW , lado del hexágono, y cada una de las rectas VX, WZ, lados del decágono, y trácense QZ, QW, UZ, EV, LV, LX, XM . Ahora bien, como cada una de las rectas VW, QE es perpendicular al plano del círculo, entonces VW es paralela a QE [Prop. XI.6]. Pero también son iguales; entonces EV, QW también son iguales y paralelas [Prop. I.33]; pero EV es el lado de un hexágono; entonces QW es también el lado de un hexágono. Y como QW es el lado de un hexágono y WZ el de un decágono y el ángulo ∠QWZ es recto, entonces QZ es el lado de un pentágono [Prop. XIII.10]. Por lo mismo UZ es también el lado de un pentágono, porque si trazamos VK, WU serán también iguales y opuestas, y VK, siendo un radio, es el lado de un hexágono [Cor. Prop. IV.15], entonces WU es el lado de un hexágono. Pero WZ es el lado de un decágono, y el ángulo ∠UWZ es recto, entonces UZ es el lado de un pentágono [Prop. XIII.10]. Pero QU también es de un pentágono; luego el triángulo △QUZ es equilátero. Por lo mismo, cada uno de los restantes triángulos cuyas bases son las rectas QR, RS, ST, TU, y su vértice el punto Z son equiláteros. Y como VL es a su vez el lado de un hexágono y VX el de un decágono y el ángulo ∠LVX es recto, entonces LX es el lado de un pentágono [Prop. XIII.10]. Por lo mismo, si trazamos MV que es el lado de un hexágono , se sigue que MX también es el lado de un pentágono y LM también es el lado de un pentágono; luego el triángulo △LMX es equilátero. De manera semejante se demostraría que cada uno de los triángulos restantes cuyas bases son MN, NO, OP, PL y su vértice el punto X son equiláteros. Por tanto, se ha construido un icosaedro comprendido por veinte triángulos equiláteros .
Ahora hay que envolverlo en la esfera dada y demostrar que el lado del icosaedro es la recta irracional llamada «menor». Pues como VW es el lado de un hexágono y WZ de un decágono, entonces VZ se ha cortado en extrema y media razón por el punto W y VW es su segmento mayor [Prop. XIII.9]; entonces, ZV / VW = VW / WZ ; pero VW = VE y WZ = VX; entonces, WZ / VE = VE / VX , y los ángulos ∠ZVE, ∠EVX son rectos; luego, si trazamos la recta EZ, el ángulo ∠XEZ será recto por la semejanza de los triángulos △XEZ, △VEZ. Por lo mismo, dado que, ZV / VW = VW / WZ , mientras que ZV = XW y VW = WQ, entonces, XW / WQ = QW / WZ . Y de nuevo, por la misma razón, si trazamos QX, el ángulo correspondiente a Q será recto [Prop. VI.8]; luego el semicírculo descrito sobre XZ pasará también por Q [Prop. III.31]. Y si permaneciendo fija XZ, se hace girar el semicírculo y se vuelve a la misma posición desde donde empezó a moverse pasará también por Q y los puntos angulares restantes del icosaedro; y el icosaedro quedará envuelto en una esfera .
Digo ahora que en la esfera dada.
Divídase, pues, VW en dos partes iguales por el punto Y . Y como la línea recta VZ ha sido cortada en extrema y media razón por el punto W y su segmento menor es ZW, entonces el cuadrado de ZW añadido a la mitad del segmento mayor WY es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor [Prop. XIII.3]; entonces ZY2 = 5YW2. Ahora bien, ZX = 2ZY y VW = 2YW; entonces, ZX2 = 5WV2. Y como AC = 4CB, entonces AB = 5BC. Pero como AB / BC = AB2 / BD2 [Prop. VI.8;Def. V.9]; luego AB2 = 5BD2. Pero se ha demostrado que ZX2 = 5VW2. Y DB = VW, porque cada una de ellas es igual al radio del círculo ◯EFGHK; entonces AB = XZ. Y AB es el diámetro de la esfera dada; luego XZ es igual al diámetro de la esfera dada. Por tanto, el icosaedro queda envuelto en la esfera dada.
Digo ahora que el lado del icosaedro es la recta irracional llamada «menor».
Pues como el diámetro de la esfera es expresable y su cuadrado es el quíntuple del radio del círculo ◯EFGHK, entonces el radio del círculo ◯EFGHK es expresable, de modo que también su diámetro es expresable. Pero si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo de diámetro expresable, el lado del pentágono es la recta sin razón expresable llamada «menor» [Prop. XIII.11]. Pero el lado del pentágono es el lado del icosaedro. Por consiguiente, el lado del icosaedro es la recta irracional llamada «menor».
Q. E. D.
A partir de esto queda claro que el cuadrado del diámetro de la esfera es el quíntuple del cuadrado del radio del círculo a partir del cual se ha trazado el icosaedro, y que el diámetro de la esfera está compuesto por el lado del hexágono y dos de los lados del decágono inscritos en el mismo círculo.
Q. E. D.