Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del pentágono es igual a los cuadrados de los lados del hexágono y el decágono inscritos en el mismo círculo.

Sea ◯ABCDE el círculo Paso 1, e inscríbase en el círculo ◯ABCDE el pentágono equilátero ⬠ABCDE Paso 2. Digo que el cuadrado del lado del pentágono ⬠ABCDE es igual a los de los lados del hexágono y el decágono inscritos en el círculo ◯ABCDE.

Pues tómese el punto F como centro del círculo Paso 3 y, una vez trazada AF, prolónguese hasta el punto G Paso 4; trácese FB Paso 5 y trácese, desde F, FH perpendicular a AB, y prolónguese hasta el punto K Paso 6 y trácense AK, KB Paso 7; trácese a su vez FL perpendicular a AK y prolónguese hasta M Paso 8, y trácese KN Paso 9. Como el arco de circunferencia ABCG es igual al arco de circunferencia AEDG y, en ellas, ABC es igual a AED, entonces el resto, el arco de circunferencia CG, es igual al resto, el arco de circunferencia GD. Y CD es el lado del pentágono; entonces CG es el lado del decágono. Y como FA = FB y FH es perpendicular, entonces ∠AFK = ∠KFB [Prop. I.5, Prop. I.26]. De modo que el arco de circunferencia AK es igual a KB [Prop. III.26], luego el arco de circunferencia AB es el doble del arco de circunferencia BK; por tanto la recta AK es un lado del decágono. Por lo mismo AK = 2KM. Ahora bien, como el arco de circunferencia AB es el doble de la circunferencia BK, mientras que el arco de circunferencia CD es igual al arco de circunferencia AB, entonces el arco de circunferencia CD es el doble del arco de circunferencia BK. Pero el arco de circunferencia CD es el doble del arco de circunferencia CG; luego el arco de circunferencia CG es igual al arco de circunferencia BK. Pero BK es el doble de KM, porque también lo es KA; entonces CG es el doble de KM. Pero además el arco de circunferencia CB es el doble del arco de circunferencia BK, porque el arco de circunferencia CB es igual a BA. Por tanto, el arco de circunferencia entera GB es el doble de BM; de modo que ∠GFB = 2∠BFM [Prop. VI.33]. Pero ∠GFB = 2∠FAB, porque ∠FAB = ∠FAB. Pero el ángulo ∠ABF es común a los dos triángulos △ABF, △BFN; entonces el ángulo ∠AFB = ∠BNF [Prop. I.32]. Luego el triángulo △ABF es de ángulos iguales a los del triángulo △BFN. Por tanto, proporcionalmente, como AB / BF = FB / BN [Prop. VI.4]; así pues, AB⋅BN = BF² [Prop. VI.17]; como a su vez AL = LK y LN es común y perpendicular, entonces KN = AN [Prop. I.4]; luego ∠LKN = ∠LAN. Pero ∠LAN = ∠KBN; entonces ∠LKN = ∠KBN. Y ∠A es común a los dos triángulos, △AKB y △AKN. Entonces ∠AKB = ∠KNA [Prop. I.32]; luego el triángulo △KBA es de ángulos iguales a los del triángulo △KNA. Por tanto, AB / AK = KA / AN [Prop. VI.4]; luego BA⋅AN = AK² [Prop. VI.17]. Pero se ha demostrado que también AB⋅BN = BF² ; entonces AB⋅BN + BA⋅AN = BF² + AK². Ahora bien, BA es el lado del pentágono, BF del hexágono y AK del decágono.

Q. E. D.