Ningún
segmento de una parábola puede ser semejante a un
segmento de una hipérbola o de una elipse.
Ningún segmento de una hipérbola puede ser semejante a un
segmento de una elipse.
Sea EBA una parábola y CDF una hipérbola o una elipse . Digo
que los segmentos de estas secciones no pueden ser semejantes.
En efecto, supongamos que los segmentos \(\overparen{\rm BME}\) y \(\overparen{\rm DNF}\) son semejantes, entonces será posible trazar, en estos segmentos, rectas en el mismo número, paralelas
a las rectas BE, DF , de manera que las razones de las partes del diámetro MG cortadas por las paralelas, en el segmento \(\overparen{\rm BME}\), desde el vértice M,
a estas mismas paralelas son las mismas que las razones de las partes cortadas del diámetro NH , desde el vértice N, a las paralelas trazadas en el
otro segmento \(\overparen{\rm DNF}\).
Además, la base de un segmento será a su diámetro como la base del otro segmento es a su diámetro,
y las partes cortadas en uno de los diámetros estarán en la misma razón que las partes cortadas en el otro diámetro [Def. VI.7].
Sin embargo, se puede establecer fácilmente que esto no puede ser así, de la misma manera que se ha demostrado para las secciones enteras [Prop. VI.14].
Además, si una de las secciones es una hipérbola y la otra una elipse, la imposibilidad se establecería, razonando como en [Prop. VI.15].
Q. E. D.