Hipérbolas
y elipses en las que las figuras construidas sobre sus ejes son
semejantes son también ellas mismas semejantes, y si las secciones son semejantes,
entonces las figuras construidas sobre sus ejes son semejantes.
Sean dos hipérbolas o elipses ΑΒ y CD cuyas figuras construidas
sobre sus ejes ΑΚ y CP son semejantes, los diámetros transversos de estas
cónica son ΑQ y RC . Tomemos segmentos ΑK y CP de los ejes de manera que
\(\rm \dfrac{AK}{AQ} = \dfrac{CP}{CR}\) .
Dividamos la recta ΑΚ arbitrariamente en F y H , y dividamos también la recta CP en el mismo número de
segmentos que en ΑΚ, y en las mismas razones en Μ y O y tracemos por los puntos F, H, Κ, Μ, O,
y P las rectas perpendiculares ΒΚ, HG, FΕ, PD, OΝ, y ΜL a los ejes , y prolonguémoslas hasta
que corten de nuevo a las secciones en los puntos Τ, S, Ι, Χ, U, y Υ .
Entonces, debido a que las figuras construidas sobre sus ejes de las secciones son semejantes
\(\rm \dfrac{BK^2}{QK\cdot KA} = \dfrac{DP^2}{RP\cdot PC}\) [Prop. I.21].
Pero así \(\rm \dfrac{QK\cdot KA}{KA^2} = \dfrac{RP\cdot PC}{PC^2}\). Por lo tanto, \(\rm \dfrac{BK^2}{KA^2} = \dfrac{DP^2}{PC^2}\),
y \(\rm \dfrac{BK}{KA} = \dfrac{DP}{PC}\), y \(\rm \dfrac{BT}{KA} = \dfrac{DX}{PC}\).
Además, \(\rm \dfrac{QA}{AK} = \dfrac{RC}{CP}\), \(\rm \dfrac{KA}{AH} = \dfrac{PC}{CO}\).
Por lo tanto, así \(\rm \dfrac{AQ}{AH} = \dfrac{RC}{CO}\). Por lo tanto, se demostrará, como
demostrado anteriormente, que \(\rm \dfrac{GS}{HA} = \dfrac{NU}{OC}\), y \(\rm \dfrac{EI}{FA} = \dfrac{LY}{MC}\).
Por lo tanto, las proporciones de las perpendiculares ΒΤ, GS y ΕΙ a las cantidades
ΑΚ, ΑH, y ΑF que cortan del eje son respectivamente iguales a las proporciones
de las perpendiculares DΧ, ΝU, y LΥ a las cantidades PC, GC, y ΜC que cortan
fuera del eje.
Y las proporciones de las partes de ΑΚ que las perpendiculares cortan a la
partes de CP que las perpendiculares cortadas son iguales. Por lo tanto, la sección ΑΒ
es semejante a la sección CD.
Además, hacemos que la sección ΑΒ sea semejante a la sección CD. Entonces, ya que
dos secciones son semejantes que dibujamos en la sección ΑΒ algunas perpendiculares ΒΤ, ΑS,
y ΕΙ al eje, y en la sección CD las perpendiculares DΧ, ΝU, y LΥ, y
que las proporciones de estas perpendiculares a las cantidades que cortan de los ejes
ser iguales respectivamente, y de la misma manera las proporciones de las partes que cortan de
uno de los ejes a las partes que cortan del otro eje, entonces \(\rm \dfrac{BK}{AK} = \dfrac{DP}{PC}\),
y \(\rm \dfrac{KA}{AH} = \dfrac{PC}{CO}\), y \(\rm \dfrac{AH}{HG} = \dfrac{CO}{NO}\).
Por lo tanto, \(\rm \dfrac{BK}{HG} = \dfrac{DP}{NO}\).
Y así \(\rm \dfrac{BK}{GH} = \dfrac{DP}{NO}\). Por lo tanto \(\rm \dfrac{QK\cdot KA}{QH\cdot HA} = \dfrac{RP\cdot PC}{RO\cdot OC}\) [Prop. I.21].
y porque \(\rm \dfrac{KA}{AH} = \dfrac{PC}{CO}\), y \(\rm \dfrac{KA}{AQ} = \dfrac{PC}{CR}\),
así \(\rm \dfrac{KQ}{QH} = \dfrac{RP}{RO}\), y por lo tanto \(\rm \dfrac{QH}{KH} = \dfrac{RO}{PO}\).
Pero \(\rm \dfrac{KH}{AH} = \dfrac{PO}{OC}\). Por lo tanto \(\rm \dfrac{QH}{HA} = \dfrac{RO}{OC}\).
Y por lo tanto \(\rm \dfrac{QH\cdot HA}{HA^2} = \dfrac{RO\cdot OC}{OC^2}\).
Pero \(\rm \dfrac{AH^2}{HG^2} = \dfrac{CO^2}{NO^2}\). Por lo tanto,
\(\rm \dfrac{QH\cdot HA}{HG^2} = \dfrac{RO\cdot OC}{ON^2}\).
Pero \(\rm \dfrac{QH\cdot HA}{HG^2} = \dfrac{QA}{lado recto_{QA}}\). Por lo tanto, las figuras construidas sobre
QΑ y RC son iguales .
Q. E. D.