Si se trazan perpendiculares al eje de una parábola o una hipérbola, los segmentos cortados a ambos lados del eje por un par de perpendiculares son semejantes e iguales, mientras que cualquier otro segmento de la misma sección no es semejante a estos.

Sea una parábola o una hipérbola de eje ΑL Paso 1, y tracemos, en esta sección, un par de rectas perpendiculares al eje tales como BH y CΚ Paso 2, que corten en la sección los segmentos \(\overparen{\rm ΒC}\) y \(\overparen{\rm HK}\) Paso 3. Por otra parte, sean los segmentos \(\overparen{\rm DE}\) y \(\overparen{\rm HK}\) dos segmentos cortados por diferente par de perpendiculares Paso 4. Entonces digo que los segmentos \(\overparen{\rm ΒC}\) y \(\overparen{\rm HK}\) son semejantes, y que los segmentos \(\overparen{\rm DE}\) y \(\overparen{\rm HK}\) son desemejantes.

En efecto, que los segmentos \(\overparen{\rm ΒC}\) y \(\overparen{\rm HK}\) son semejantes, es evidente porque cada uno de ellos encajará en el otro, como se demuestra en [Prop. VI.7]. Pero en cuanto a la afirmación de que los segmentos \(\overparen{\rm DE}\) y \(\overparen{\rm HK}\) son desemejantes, se demostrará de la siguiente manera. Supongamos que los segmentos \(\overparen{\rm DE}\) y \(\overparen{\rm HK}\) sean semejantes. Ya que el segmento \(\overparen{\rm HK}\) es semejante al segmento \(\overparen{\rm ΒC}\) [Prop. VI.7], entonces el segmento \(\overparen{\rm DE}\) será semejante al segmento \(\overparen{\rm ΒC}\), por tanto las bases BC, DE, prolongadas, cortarán al eje en los puntos F y G formando ángulos AGB, AFE iguales [Prop. VI.17 y Prop. VI.18] Paso 5. En consecuencia las rectas CB y DE son paralelas. Tracemos la recta MO dividiendo a las rectas CB, DE en dos partes iguales por los puntos O y N Paso 6, y por el punto M tracemos la recta MI paralela a la recta DEF Paso 7. La recta MO será un diámetro de la sección [Prop. II.28], y la recta MI paralela a las rectas trazadas de manera ordenada, será tangente a la sección. Entonces, si los segmentos \(\overparen{\rm ΒC}\) y \(\overparen{\rm DE}\) son semejantes, \(\rm \dfrac{MI}{MO} =\dfrac{MI}{MN}\) [Prop. VI.17 y Prop. VI.18], lo que es imposible. Por lo tanto el segmento DΜΕ no es semejante al segmento HΚ.

Q. E. D.