Si
hay una sección cónica, y una parte de ella coincide con otra parte de
otra sección para que quepa en ella, entonces la primera sección es igual a
la segunda sección.
Que el arco \(\overparen{\rm AB}\) de la sección ΑΒG , cuando se aplica al arco \(\overparen{\rm CD}\) de la sección
CDΕ encaja en él. Digo que la sección ΑΒG es igual a la sección CDΕ.
Por lo tanto, si no es así, entonces la parte \(\overparen{\rm AB}\) coincide con la parte
\(\overparen{\rm CD}\), y que el resto de la sección no coincida con la otra sección, pero
que sean como las secciones DCΜ y DCΝ. Tomemos el punto H en \(\overparen{\rm CM}\)
, y
tracemos la recta de unión DH
, y tracemos en la sección CDΕ el diámetro ΚL bisecando DH
. Luego la
tangente a la sección CDΕ en Κ es paralela a DH
, y el diámetro ΚL biseca
las rectas paralelas a DH. Por lo tanto tracemos desde C la recta CF
paralela a DH
. Luego ΚL lo divide, y es paralela a la tangente de la sección
DCΜ en Κ. Y esa tangente es también la tangente a la sección DCΝ. Por lo tanto
ΚL es un diámetro de la sección DCΝ [
Prop. II.7].
Por lo tanto, divide el diámetro DΝ en L. Pero DH fue dividido
en el mismo punto L, lo cual es imposible. Por lo tanto, toda la sección ΑΒG coincide
con la sección CDΕ para encajar en ella, por lo tanto es igual a ella.
Q. E. D.