Si en una parábola o en una hipérbola, se prolongan, hasta en el otro lado de la sección, rectas trazadas de manera ordenada al eje, habremos cortado a ambos lados del eje, partes que, aplicadas, serán congruentes, pero no coincidirán en modo alguno con ninguna otra parte de la sección sobre la que sean colocadas.

Sea una parábola o una hipérbola ABC Paso 1, cuyo eje es la recta CG Paso 2. Tomemos un arco \(\overparen{\rm AB}\) de la sección Paso 3, y tracemos sobre el eje CG rectas trazadas de manera ordenada, como las rectas BFD, AGE Paso 4, justo hasta el otro lado de la sección, cortan los arcos \(\overparen{\rm BCD}\), \(\overparen{\rm ACE}\) sobre esta sección Paso 5. Digo que el arco \(\overparen{\rm BC}\) será congruente con el arco \(\overparen{\rm CD}\), el arco \(\overparen{\rm AB}\) con el arco \(\overparen{\rm DE}\), y que, igualmente el área ACG será congruente con el área GCE, y el arco \(\overparen{\rm ABC}\) será congruente con el arco \(\overparen{\rm EDC}\).

Estas cosas se establecerán de la manera que hemos utilizado anteriormente [Prop. VI.3], porque los cuadrados de todas las rectas trazadas ordenadamente del arco \(\overparen{\rm ABC}\) al eje CG serán equivalentes a los rectángulos que son iguales a los rectángulos que valen los cuadrados de las rectas trazadas perpendicularmente desde el arco \(\overparen{\rm CDE}\) al eje CG. Por lo tanto, si las rectas se trazan sucesivamente perpendicularmente, BF = FD, y AG = EG. Sin embargo, los ángulos \(\widehat{\rm CFB}\)=\(\widehat{\rm CFD}\) y \(\widehat{\rm CGA}\)=\(\widehat{\rm CGE}\) son rectos; por lo tanto, el arco \(\overparen{\rm CB}\), aplicado al arco \(\overparen{\rm CD}\), coincidirá con él; el arco \(\overparen{\rm AB}\) también coincidirá con el arco \(\overparen{\rm DE}\), y las áreas serán congruente con las áreas.

Sea ahora otro arco \(\overparen{\rm HK}\), no comprendido entre las dos perpendiculares Paso 6. Digo que si el arco \(\overparen{\rm DE}\) se aplica al arco \(\overparen{\rm HK}\), no coincidirá con él.

En efecto, si no fuera así, y si fuera posible que estos arcos fuesen congruentes con el arco \(\overparen{\rm HK}\), superpongamos el arco \(\overparen{\rm DE}\), y dejemos que coincida con el arco \(\overparen{\rm HK}\). Entonces, el arco \(\overparen{\rm CD}\) coincidirá con la parte de la sección en continuidad con el arco \(\overparen{\rm HK}\) [Prop. VI.6]. Sin embargo, el punto C caerá en el arco \(\overparen{\rm CDE}\) en un lugar distinto al del arco \(\overparen{\rm KHC}\), porque el arco \(\overparen{\rm KHC}\) no es igual al arco \(\overparen{\rm CDE}\); por lo tanto, el eje GC tendría varias posiciones, y la parábola, o la hipérbola, tendría varios ejes; lo cual es absurdo [Prop. II.48]. Como resultado, el arco \(\overparen{\rm DE}\) no puede ser congruente con el arco \(\overparen{\rm HK}\).

Q. E. D.