Cortar un cono recto por un plano de modo que la sección sea una elipse igual a una dada.

Sea el cono recto cuya sección por el eje es el triángulo axial ABC Paso 1 y la elipse DEG de eje mayor DG Paso 2 y lado recto DF Paso 3. Circunscribamos al triángulo ABC un círculo Paso 4, construyamos una recta AM Paso 5 tal que sea \(\rm \dfrac{AM}{MO} = \dfrac{DG}{DF}\) Paso 6; tracemos en el triángulo ABC la recta PQ paralela a la recta AM e igual a DG Paso 7 y, haciendo pasar por esta recta PQ un plano perpendicular al del triángulo ABC, la sección producida resuelve el problema Paso 8, porque recordando la proposición [Prop. I.13] y teniendo en cuenta la hipótesis y la construcción PQ = DG, se tiene \(\rm \dfrac{PQ}{lado recto} = \dfrac{AM^2}{BM\cdot MC}\) [Prop. I.13], pero \(\rm BM\cdot MC = AM\cdot MO\), por tanto \(\rm \dfrac{PQ}{lado recto} = \dfrac{AM^2}{AM\cdot MO} = \dfrac{AM}{MO}\) y como \(\rm \dfrac{AM}{MO} = \dfrac{DG}{DF}\) entonces \(\rm \dfrac{PQ}{lado recto} = \dfrac{DG}{DF} = \dfrac{PQ}{DF}\), luego \(\rm lado recto = DF\), y por tanto las figuras características de las elipses de ejes PQ y DG son iguales, por consiguiente las dos elipses son iguales [Prop. VI.2].

Digo, además, que no encontraremos, en este cono, otra sección, igual a la sección DE, cuyo vértice situado en la recta AB, esté más cerca del vértice del cono.

En efecto, si fuese posible encontrar esta sección, es obvio que su eje se encuentra en el plano del triángulo ABC, y su plano se establece perpendicularmente al mismo plano ABC [Prop. VI.28]. Sin embargo, ya que esta sección es una elipse, la prolongación de su eje se encontrará con la línea BC; este eje será igual a la recta DG [Prop. VI.2], y el vértice de esta sección estará más cerca del punto A en la recta AB. Además, este eje no caerá sobre la recta PQ, y no puede ser paralelo a esa recta. Tracemos por lo tanto desde el punto A una recta AST Paso 9 que, paralela a este eje, no coincida la recta AM. Esta recta cortará al arco CA, porque no es paralela a la recta BC. Como, \(\rm \dfrac{eje transverso}{lado recto} = \dfrac{AT^2}{BT\cdot TC}\) [Prop. I.13]. Ya que esta nueva elipse es igual a la elipse DE, sus figuras características serán iguales, es decir, \(\rm \dfrac{eje transverso}{lado recto} = \dfrac{DG}{DF}\), luego \(\rm \dfrac{DG}{DF} = \dfrac{AT^2}{BT\cdot TC}\) de donde, ya que \(\rm BT\cdot TC = AT\cdot TS\), tenemos que \(\rm \dfrac{DG}{DF} = \dfrac{AT^2}{AT\cdot TS} = \dfrac{AT}{TS}\). Ya que se tiene, por construcción, \(\rm \dfrac{AM}{MO} = \dfrac{DG}{DF}\), entonces \(\rm \dfrac{AM}{MO} = \dfrac{AT}{TS}\); lo cual es imposible. Por consiguiente, no hay otra sección en el cono en cuestión, igual a la sección DE, cuyo vértice esté más cerca de la parte superior. del cono de la derecha AB, excepto la única sección cuyo eje mayor es el PQ correcto.

Q. E. D.