Si se corta un cono por planos paralelos, que prolongados más allá del vértice del cono, subtienden su ángulo exterior, entonces las hipérbolas generadas por estos planos son semejantes pero no iguales.

Sea un cono ΑΒCD Paso 1, y cortémosle por dos planos paralelos, cuyas intersecciones con la base del cono sean HΜ y ΚΝ Paso 2. Tracemos por el centro de la base del cono la perpendicular ΒLGC a estas rectas Paso 3. Cortemos el cono por otro plano que pase por ΒC y por el eje de el cono, y que corte a la superficie del cono en ΑΒ y ΑC Paso 4. Sean DL y FG las intersecciones de este plano con los dos planos paralelos, que prolongamos hasta los puntos P y Ε respectivamente Paso 5. Digo que la sección HFΜ es semejante a la sección ΚDΝ, pero no es igual a ella Paso 6.

Tracemos por el punto Α una recta ΑQ paralela a las rectas DL y FG Paso 7, de manera que \(\rm \dfrac{PD}{DO} = \dfrac{AQ^2}{BQ\cdot QC}\) y \(\rm \dfrac{EF}{FI} = \dfrac{AQ^2}{BQ\cdot QC}\). Entonces, como la recta ΒL es perpendicular a la recta ΚΝ, los cuadrados de las rectas trazadas en la hipérbola ΚDΝ a DL paralelas a la recta LΝ son iguales a los rectángulos aplicados sobre el lado recto DO y aumentados en un rectángulo semejante al delimitado por PD y DO [Prop. I.12]. De manera similar, ya que la recta BG es perpendicular a la recta MH, los cuadrados de las rectas trazadas en la hipérbola HFΜ a FG paralelas a HΜ son iguales a los rectángulos aplicados al lado derecho FΙ y aumentados en un rectángulo semejante al delimitado por EF y FI. Tenemos que \(\rm \dfrac{PD}{DO} = \dfrac{EF}{FI}\) y como el ángulo comprendido por las rectas ΚΝ y DL es igual al ángulo comprendido por las rectas HΜ y FG, porque estas rectas son paralelas entre sí, entonces las figuras características son semejantes, luego las secciones son semejantes [Prop. VI.12]. Por otro lado, ya que \(\rm PD\cdot DO > EF\cdot FI \), las secciones HFΜ y ΚDΝ son desiguales [Prop. VI.2].

Q. E. D.