Cortando un cono por un plano que pase por el eje y por otro que corte a la base según una perpendicular a la del triángulo axial, si el diámetro de la sección encuentra a uno de los lados del triángulo más allá del vértice del cono, el cuadrado de toda recta trazada desde la sección del cono paralelamente a la intersección del plano secante y el de la base del cono hasta el diámetro de la sección, equivale a un área aplicada según una cierta cuya razón a la situada en la prolongación del diámetro de la sección, que subtiende el ángulo externo del triángulo es la misma que la del cuadrado de la paralela desde el vértice del cono al diámetro de la sección hasta la base del triángulo, el rectángulo formado por los segmentos que la recta determina en la base cuya altura es la parte del diámetro [la abscisa] separada por la primera recta [la ordenada] del lado del vértice de la sección, aumentado en una figura semejante y semejantemente dispuesta, al rectángulo limitado por la recta que subtiende el ángulo externo del triángulo y el parámetro. Llamo hipérbola a tal sección.

Sea un cono de vértice el punto A y base el círculo BG Paso 1, y cortémosle por un plano que pase por el eje, que producirá como sección el triángulo ABG Paso 2. Cortémosle por otro plano que corta a la base del cono según la recta DE perpendicular a la recta BG, la base del triángulo ABG y que producirá como sección sobre la superficie del cono la línea DZE Paso 3 cuyo diámetro ZH [Prop. I.7 y Def. I.4] cuando se prolonga corta a AG, un lado del triángulo ABG, en un punto Q más allá del vértice del cono Paso 4. Tracemos por A una paralela AK al diámetro de la sección ZH, que corta a BCG en K Paso 5. Tracemos desde Z una perpendicular ZL a ZH Paso 6, de manera que \(\rm \dfrac{KA^2}{BK\cdot KG}=\dfrac{ZQ}{ZL}\).

Tomemos un punto cualquiera M en la sección y tracemos por M una paralela MN a DE Paso 7 y por N una paralela NOC a ZL. Paso 8. Tracemos la recta de unión QL y prolonguémosla hasta C Paso 9 y tracemos por L y C paralelas LO y CP a ZN. Paso 10.

Digo que \[\mathrm{MN^2 = CN\cdot ZN = ZN\cdot ZL+ZN^2\left(\frac{ZL}{QZ}\right)=\frac{ZL}{QZ}\cdot ZN(QZ+ZN)}.\]

Tracemos por N una paralela RNS a BG Paso 11. NM es también paralela a DE. Así [Euclides:Prop. XI.15] el plano que pasa por MN y RS es paralelo al plano BG y DE, que es la base del cono. Así si el plano se traza pasando por MN y RS, la sección [Prop. I.4] será un círculo cuyo diámetro es RNS Paso 12. Y MN es perpendicular a él. Así \(\mathrm{RN\cdot NS = MN^2}\).

Ya que, por hipótesis, \[\mathrm{\frac{ZQ}{ZL} = \frac{KA^2}{BK\cdot KG}}\], y \[\mathrm{\frac{KA^2}{BK\cdot KG} = \frac{AK}{KG}\cdot\frac{AK}{KB}},\] [Euclides:Prop. VI.23], entonces \[\mathrm{\frac{ZQ}{ZL} = \frac{AK}{KG}\cdot\frac{AK}{KB}}.\]

Pero, por la semejanza de los triángulos AKG, QHG y QNS, \[\mathrm{\frac{AK}{KG} = \frac{QH}{HG} = \frac{QN}{NS}}\] y por la semejanza de los triángulos AKB, ZHB y ZNR, \[\mathrm{\frac{AK}{KB} = \frac{ZH}{HB} = \frac{ZN}{NR}}.\]

Así \[\mathrm{\frac{QZ}{ZL} = \frac{QN}{NS}\cdot\frac{ZN}{NR} = \frac{QN\cdot ZN}{NS\cdot NR}}.\] Por otra parte, \[\mathrm{\frac{QZ}{ZL} = \frac{QN}{NC}},\] de donde \[\mathrm{\frac{QN}{NC} = \frac{QN\cdot ZN}{NS\cdot NR}}.\] Pero la recta ZN ha sido tomada como altura común, luego según [Euclides:Prop. VI.1], \[\mathrm{\frac{QN}{NC} = \frac{QN\cdot ZN}{NC\cdot ZN}},\] entonces, según [Euclides:Prop. V.11], \[\mathrm{\frac{QN\cdot ZN}{NC\cdot ZN} = \frac{QN\cdot ZN}{NS\cdot NR}},\] de donde, según [Euclides:Prop. V.9], \[\mathrm{ NC\cdot ZN = NS\cdot NR},\] luego \[\mathrm{ MN^2 = NC\cdot ZN}.\] Pero los triángulos COL y LZQ son semejantes y OL = ZN, luego \[\mathrm{\frac{ZN}{ZQ}=\frac{OL}{ZQ}=\frac{OC}{LZ}},\] de donde \[\mathrm{\frac{ZN\cdot OC}{ZQ\cdot LZ}=\frac{ZN^2}{ZQ^2}}\] y así \[\mathrm{ZN\cdot OC=ZN^2\left(\frac{ZL}{ZQ}\right)}.\] Por consiguiente \[\mathrm{MN^2 = ZN\cdot ZL+ZN^2\left(\frac{ZL}{QZ}\right)=\frac{ZL}{QZ}\cdot ZN(QZ+ZN)}.\]

Llamo a tal sección una hipérbola, y a LZ la recta a la que se aplica el área equivalente al cuadrado de las ordenadas trazadas a ZH. La llamaremos también el lado recto, y a la recta ZQ el lado transverso.

Q. E. D.