Si por el punto que divide en dos partes iguales a un diámetro transverso de las dos secciones opuestas se traza una paralela a una recta trazada de un modo ordenado, esta primera recta será un diámetro de las secciones opuestas conjugado al antes dicho.

Sea una hipérbola de dos ramas de diámetro AB Paso 1 y bisequemos AB en C y tracemos por C una paralela CD a una ordenada Paso 2.

Digo que CD es un diámetro conjugado a AB.

Sean AE y BF los lados rectos para las ordenadas a AB Paso 3 y tracemos las rectas de unión AF y BE Paso 4 y prolonguémoslas y tomemos un punto cualquiera G sobre una sección, y desde G tracemos una paralela GH a AB Paso 5, y desde G y H tracemos GK y HL como ordenadas Paso 6, y desde K y L tracemos paralelas KM y LN a AE y BF Paso 7. Ya que GK=HL [Euclides:Prop. I.34], así GK²=HL².

Pero GK²=AK∙KM y HL²=BL∙LN [Prop. I.13]. Así AK∙KM=BL∙LN.

Ya que AE=BF [Prop. I.14], así ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{F}}{\mathrm{B}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}$.

Pero, por semejanza de triángulos, ${\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{A}}}$. Así ${\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{B}}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{L}\cdot \mathrm{B}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{A}\cdot \mathrm{B}\mathrm{L}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{K}\cdot \mathrm{K}\mathrm{A}}{\mathrm{K}\mathrm{B}\cdot \mathrm{K}\mathrm{A}}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}\mathrm{B}\cdot \mathrm{K}\mathrm{A}}{\mathrm{L}\mathrm{A}\cdot \mathrm{B}\mathrm{L}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{K}\cdot \mathrm{K}\mathrm{A}}{\mathrm{N}\mathrm{L}\cdot \mathrm{B}\mathrm{L}}}$.

Ya que $\mathrm{G}{\mathrm{K}}^2=\mathrm{M}\mathrm{K}\cdot \mathrm{K}\mathrm{A}$ y $\mathrm{H}{\mathrm{L}}^2=$ [Prop. I.13] y GK=HL, entonces $\mathrm{M}\mathrm{K}\cdot \mathrm{K}\mathrm{A}=\mathrm{N}\mathrm{L}\cdot \mathrm{B}\mathrm{L}$, de donde $\mathrm{K}\mathrm{B}\cdot \mathrm{K}\mathrm{A}=\mathrm{L}\mathrm{A}\cdot \mathrm{B}\mathrm{L}$. Como, KB=LA, entonces KA=BL.

Pero AC=CB, y así KC=CL, y por tanto GO=OH.

Así GH es bisecado por OCD, y es paralela a AB. Así OCD es el diámetro conjugado a AB.

Q. E. D.

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