Dadas dos rectas limitadas, perpendiculares entre sí, y prolongando una de ellas del lado del ángulo recto, construir sobre esta prolongación y en el plano de las dos rectas, la sección cónica llamada hipérbola cuyo diámetro sea la recta prolongada, el vértice el del ángulo recto y tal que el cuadrado de toda recta bajada de la sección al diámetro según un ángulo dado, equivalga al rectángulo que, aplicado a la otra recta, tenga de ancho la recta separada, a partir del vértice, por la recta bajada, aumentado en una figura semejante a la formada por las primeras rectas y semejantemente dispuesta.

Sean AB y BG las dos rectas dadas perpendiculares entre sí y prologuemos AB hasta el punto D Paso 1. Se trata de construir en el plano de las rectas AB y BG una hipérbola de diámetro ABD, cuyo vértice sea B, el lado recto BG y tal que los cuadrados de las rectas bajadas de la curva a BD según un ángulo dado, equivalgan a las áreas aplicadas a BG, teniendo como ancho las rectas que separan las bajadas a partir del punto B y aumentadas en una figura semejante al rectángulo de las rectas AB y BG y semejantemente dispuesta.

Supongamos primero que el ángulo dado es recto, y tracemos por la recta AB un plano perpendicular al plano considerado, y describamos en él un círculo AEBZ que pase por A y B Paso 2 de tal modo, si K es el punto medio de AB, \(\rm \dfrac{EK}{KL} \ngtr \dfrac{AB}{BG}\). Además, bisequemos el arco \(\overparen{\rm AEB}\) por el punto E, tracemos desde E la perpendicular EK a AB, y prolonguémosla hasta el punto L, así [Euclides:Prop. III.1], la recta EL será, pues, un diámetro del círculo Paso 3.

Si \(\rm \dfrac{EK}{KL} = \dfrac{AB}{BG}\), consideremos el punto L, y en caso contrario, hagamos que [Euclides:Prop. VI.12] \(\rm \dfrac{AB}{BG}= \dfrac{EK}{KM}\), donde KM < KL, y tracemos por el punto M la paralela MZ a AB Paso 4, las rectas de unión ZA, ZE y ZB, y por el punto B la paralela BC a la recta ZE Paso 5.

Entonces, ya que AE = EB, entonces \(\widehat{\rm AZE} = \widehat{\rm EZB}\); pero \(\widehat{\rm AZE} = \widehat{\rm ACB}\), y \(\widehat{\rm EZB} = \widehat{\rm CBZ}\), luego \(\widehat{\rm CBZ} = \widehat{\rm ZCB}\); por consiguiente el triángulo BZC es isósceles y por tanto ZB = ZC.

Imaginemos ahora un cono cuyo vértice sea el punto Z y la base el círculo descrito sobre BC como diámetro perpendicularmente al triángulo BZC, ese cono será recto, porque ZB=ZC Paso 6.

Prolonguemos las rectas BZ, ZC y MZ Paso 7, y cortando el cono por un plano paralelo al círculo BC, la sección será un círculo HPR [Prop. I.4] Paso 8. La recta HQ es uno de sus diámetros [Cor. Prop. I.4] Paso 9. La recta intersección PDR del círculo HQ y el plano considerado Paso 10 será perpendicular a las rectas HQ y DB pues ambos círculos CB y QH son perpendiculares al triángulo ZHQ, y el plano considerado es perpendicular al triángulo ZHQ, así formará ángulos rectos con todas las rectas que la corten y estén situadas en ese plano.

Ya que el cono cuya base es el círculo HQ y el vértice Z está cortado por el plano perpendicular al triángulo ZHQ y por otro plano, el considerado, según la recta PDR perpendicular a la recta HDQ, y la intersección del plano considerado y el triángulo HZQ, es decir, la recta BD prolongada del lado de B, encuentra a la recta HZ en el punto A, resulta de lo demostrado [Prop. I.12] que la sección PBR es una hipérbola de vértice B Paso 11 y que las ordenadas sobre la recta BD lo serán perpendicularmente por ser paralelas a la recta PDR. Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{EK}{KM} = \dfrac{EN}{NZ}\), resulta que \(\rm \dfrac{EN\cdot NZ}{NZ^2} = \dfrac{EK}{KM}\) y como \(\rm \dfrac{EK}{KM} = \dfrac{AB}{BG}\), entonces \(\rm \dfrac{EN\cdot NZ}{NZ^2} = \dfrac{AB}{BG}\). Pero EN∙NZ=AN∙NB [Euclides:Prop. III.35], luego \(\rm \dfrac{AB}{BG} = \dfrac{AN\cdot NB}{NZ^2} = \dfrac{AN}{NZ}\cdot\dfrac{BN}{NZ}\) y , por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{AN}{NZ} =\dfrac{AD}{DH}=\dfrac{ZO}{OH}\), y \(\rm \dfrac{BN}{NZ} = \dfrac{ZO}{OQ}\), luego \(\rm \dfrac{AB}{BG} = \dfrac{ZO}{OH}\cdot\dfrac{ZO}{OQ}=\dfrac{ZO^2}{HO\cdot OQ}\). Como ZO es paralela a AD, se deduce que AB es el lado transverso y BG el lado recto como ha sido demostrado [Prop. I.12].

Q. E. D.

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