Dadas dos rectas que se cortan mutuamente en dos partes iguales, construir entorno a cada una de ellas hipérbolas opuestas de modo que las rectas dadas sean sus diámetros conjugados, que el cuadrado del diámetro de dos opuestas equivalga a la figura de las otras opuestas y que el cuadrado del diámetro de estas otras opuestas equivalga a la figura de la primeras opuestas.

Sean AG y DE dos rectas dadas bisecando una a la otra Paso 1. Se trata de construir hipérbolas opuestas entorno a cada una de ellas como diámetro de tal modo que las rectas AG y DE sean conjugadas en estas secciones, que DE²=GL∙AG, y que AG²=DP∙DE.

Sea DE²=AG∙GL, y la recta GL perpendicular a la recta AG Paso 2. Entonces dadas dos rectas AG y GL perpendiculares entre sí, construyamos hipérbolas opuestas ZAH y QGK Paso 3, cuyo diámetro transverso sea GA, cuyo lado recto será GL, y donde las ordenadas desde estas hipérbolas a GA sean trazadas según el ángulo dado [Prop. I.59]. La recta DE será pues el segundo diámetro de estas hipérbolas opuestas [Def. II.3], pues \(\rm \dfrac{DE}{GL} = \dfrac{AG}{DE}\) y una paralela a una ordenada quedará bisecada en el punto B. Entonces AG²=DE∙DP y la recta DP es perpendicular a la recta DE Paso 4.

Análogamente, sea AG²=ED∙DP y la recta DP perpendicular a la recta DE. Entonces dadas dos rectas ED y DP perpendiculares entre sí, tracemos las hipérbolas opuestas MDN y OEC Paso 5 de diámetro transverso DE, donde el lado recto de la figura es DP, y donde las ordenadas de las hipérbolas a DE son trazadas según el ángulo dado [Prop. I.59]. Entonces la recta AG será el segundo diámetro de las hipérbolas MDN y CEO [Def. II.3] y AG biseca las rectas paralelas a la recta DE situadas entre las hipérbolas ZAH y QGK, mientras que la recta DE biseca las rectas paralelas a la recta AG [Prop. I.16], lo que debía ocurrir [Def. I.6].

Llamamos a estas secciones, hipérbolas conjugadas.

Q. E. F.