Si una tangente a una hipérbola, una elipse o una circunferencia encuentra al lado transverso de la figura, y desde el punto de contacto se traza una recta sobre el diámetro de manera ordenada, entonces la parte separada por este a partir de un extremo del lado transverso será a la separada a partir del otro extremo como la separada por la tangente a partir de un extremo de este lado es a la separada a partir del otro extremo, de modo que las rectas homólogas sean adyacentes y ninguna otra recta caerá entre la tangente y la sección cónica.

Sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB Paso 1, sea GD una tangentePaso 2 y tracemos GE de manera ordenada Paso 3.

Digo que \(\rm \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BE}{EA}\).

Supongamos que no, sea \(\rm \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BH}{HA}\), y tracemos HZ como ordenada Paso 4, así la recta de unión DZ será tangente a la sección [Prop. I.34] Paso 5, así la prolongación cortará a GD. Así dos rectas tendrán los mismos extremos, y esto es imposible.

Digo que ninguna recta caerá en el espacio entre GD y la sección.

Supongamos que GQ cayera entre ellas Paso 6, y tal que \(\rm \dfrac{BQ}{QA}=\dfrac{BA}{HA}\), y tracemos HZ como ordenada, así la recta de unión QZ, cuando se prolonga [Prop. I.34] cortará a QG. Así dos rectas tendrán los mismos extremos, y esto es imposible. Así ninguna recta caerá en el espacio entre GD y la sección.

Q. E. D.