Cortando un cono por un plano que pase por el eje y por otro que corte a la base según una perpendicular a la del triángulo axial, si el diámetro de la sección es paralelo a uno de los lados del triángulo, el cuadrado de toda recta trazada desde la sección del cono paralelamente a la intersección del plano secante y el de la base del cono hasta el diámetro de la sección, equivale al rectángulo formado por la recta que separa en el diámetro del lado del vértice de la sección y por una cierta recta cuya razón a la situada entre el ángulo cónico y el vértice de la sección es la misma que la del cuadrado de la base del triángulo según el eje al rectángulo formado por los otros dos lados del triángulo. Llamo parábola a tal sección.

Sea un cono de vértice el punto A y base el círculo BG Paso 1, y cortémosle por un plano que pase por el eje, que producirá como sección el triángulo ABG [Prop. I.3] Paso 2. Cortémosle por otro plano que corta a la base del cono según la recta DE perpendicular a la recta BG en H Paso 3 y que producirá como sección sobre la superficie del cono la línea DZE, cuyo diámetro ZH [Prop. I.7 y Def. I.4] es paralelo a un lado AG del triángulo axial. Paso 4. Tracemos por Z una perpendicular ZQ a ZH Paso 5 de manera que \[\mathrm{\frac{BG^2}{BA\cdot AG} = \frac{ZQ}{ZA}}.\]

Finalmente tomemos un punto cualquiera K en la sección y desde K tracemos una paralela KL a DE Paso 6.

Digo que \[\mathrm{KL^2 = ZQ\cdot LZ}.\]

En efecto, tracemos desde L una paralela MN a BG. Paso 7. Como DE es también paralela a KL, entonces el plano que pasa por KL y MN es paralelo al plano que pasa por BG y DE que es el plano de la base del cono [Euclides:Prop. XI.15]. Así el plano que pasa por KL y MN es un círculo cuyo diámetro es MN [Prop. I.4] Paso 8. Además, KL es perpendicular a MN, ya que DE es perpendicular a BG [Euclides:Prop. XI.10]. Así \(\mathrm{LM\cdot LN = KL^2}\) [Euclides:Cor. Prop. VI.8].

Se tiene, según [Euclides:Prop. VI.23] ,\[\mathrm{\frac{ZQ}{ZA} = \frac{BG^2}{GA\cdot BA}=\frac{BG}{GA}\cdot\frac{BG}{BA}}.\] Ya que, por la semejanza de los triángulos ABG, ZML, AMN, \[\mathrm{\frac{BG}{GA} = \frac{MN}{NA} = \frac{LM}{LZ}} \text{ y } \mathrm{\frac{BG}{BA} = \frac{MN}{MA} = \frac{LM}{MZ} = \frac{LN}{ZA}},\] entonces \[\mathrm{\frac{QZ}{ZA} = \frac{LM}{LZ}\cdot\frac{LN}{ZA} = \frac{LM\cdot LN}{LZ\cdot ZA}}.\] Pero, la recta ZL ha sido tomada como altura común, entonces, según [Euclides:Prop. VI.1], \[\mathrm{\frac{ZQ}{ZA} = \frac{ZQ\cdot LZ}{ZA\cdot LZ}},\] entonces, según [Euclides:Prop. V.11]. \[\mathrm{\frac{ZQ\cdot LZ}{ZA\cdot LZ} = \frac{LM\cdot LN}{LZ\cdot ZA}},\] de donde, según [Euclides:Prop. V.9] \[\mathrm{ZQ\cdot LZ = LM\cdot LN}.\] Por tanto \[\mathrm{KL^2 = ZQ\cdot LZ}.\]

Llamo parábola a tal sección y ZQ es llamada la recta a la cual se aplica el área equivalente al cuadrado de las ordenadas sobre el diámetro ZH; también se le llama el lado recto.

Q. E. D.

Comentario de Eutocio