Supongamos ahora que el ángulo dado no es recto.

Sea \(\widehat{\rm BAD}\) igual al ángulo dado Paso 1 y sea AB bisecado en E, y sobre AB describimos un semicírculo AZE Paso 2, y en él tracemos una paralela ZH a AD de manera que \(\rm \dfrac{ZH^2}{AH\cdot HE} = \dfrac{GA}{AB}\) Paso 3, y tracemos las rectas de unión AZ y EZ y prolonguémoslas Paso 4 y tracemos una recta EQ tal que \(\rm \dfrac{DE}{EQ} = \dfrac{EQ}{EZ}\) Paso 5 y tracemos EK con EK=EQ de manera que QZ∙ZL=AZ², tracemos una recta de unión KL Paso 6 y tracemos desde Q una perpendicular QMC a QZ , por tanto paralela a AZL ya que el ángulo en Z es recto Paso 7.

Dadas las dos rectas limitadas KQ y KM y perpendiculares entre sí, describimos la elipse de diámetro transverso KQ y lado derecho de la figura QM y tal que las ordenadas sobre QK [Prop. I.56 y Prop. I.57] son perpendiculares Paso 8 , entonces la sección pasará por A [Prop. I.13] en virtud de que ZA²=QZ∙ZL.

Ya que QE=EK y AE=EB, la sección también pasará por B, E será su centro, y AEB el diámetro. Por otro lado DA será tangente a la sección ya que DE∙EZ=EQ².

Tenemos que \(\rm \dfrac{GA}{AB} = \dfrac{ZH^2}{AH\cdot HE}\). Pero, por una parte, \(\rm \dfrac{GA}{AB} = \dfrac{GA}{2DA}\cdot \dfrac{2DA}{AB}\), es decir, \(\rm \dfrac{GA}{AB} = \dfrac{GA}{2DA}\cdot \dfrac{DA}{AE} \), y por otra parte, \(\rm \dfrac{ZH^2}{AH\cdot HE} = \dfrac{ZH}{HE}\cdot \dfrac{ZH}{HA}\), entonces \(\rm \dfrac{GA}{2DA}\cdot \dfrac{DA}{AE} = \dfrac{ZH}{HE}\cdot \dfrac{ZH}{HA}\). Como, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{DA}{AE} = \dfrac{ZH}{HE}\), entonces \(\rm \dfrac{GA}{2AD} = \dfrac{ZH}{HA}\).

Pero, por la semejanza de los triángulos ZHA y CAN, \(\rm \dfrac{CA}{AN} = \dfrac{ZH}{HA}\), luego \(\rm \dfrac{CA}{AN} = \dfrac{GA}{2DA}\). En estas condiciones [Prop. I.50] AG es el lado recto de la figura.

Q. E. F.

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