Cuando en la elipse o en las secciones opuestas una recta trazada a uno y otro lado del centro encuentra a la sección, queda dividida por este en dos partes iguales.

Sea una elipse o unas hipérbolas opuestas, de diámetro AB, y centro G Paso 1, y tracemos desde G una recta DGE Paso 2.

Digo que GD=GE.

Tracemos DZ y EH como ordenadas Paso 3. Ya que \(\rm \dfrac{transversum}{rectum} = \dfrac{BZ\cdot ZA}{ZD^2} = \dfrac{AH\cdot HB}{HE^2}\)[Prop. I.21], entonces \(\rm\dfrac{BZ\cdot ZA}{AH\cdot HB}=\dfrac{ZD^2}{HE^2}\).

Pero, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{ZG^2}{GH^2}=\dfrac{ZD^2}{HE^2}\), entonces \(\rm\dfrac{BZ\cdot ZA}{ZG^2}=\dfrac{AH\cdot HB}{GH^2}\).

Así, en el caso de la elipse, \(\rm \dfrac{BZ\cdot ZA+ZG^2}{GZ^2} =\dfrac{AH\cdot HB+GH^2}{GH^2}\), esto es, \(\rm\dfrac{(AG+GZ)(AG-GZ)+ZG^2}{ZG^2}=\dfrac{(BG+GH)(BG-GH)+GH^2}{GH^2}\), de donde \(\rm\dfrac{AG^2}{ZG^2}=\dfrac{BG^2}{GH^2}\). Por otra parte, en el caso de la hipérbola, \(\rm\dfrac{ZG^2-BZ\cdot ZA}{ZG^2}=\dfrac{GH^2-AH\cdot HB}{GZ^2}\), esto es, \(\rm\dfrac{ZG^2-(ZG+AG)(ZG-AG)}{ZG^2} = \dfrac{GH^2-(GH+BG)(GH-BG)}{GH^2}\), de donde \(\rm\dfrac{AG^2}{ZG^2}=\dfrac{BG^2}{GH^2}\). Pero BG = AG, luego GH²=GZ², así ZG=GH.

Y DZ y HE son paralelas, así DG=GE.

Q. E. D.

Ir a Comentario de Eutocio