Proposición 30

Cuando en la elipse o en las secciones opuestas una recta trazada a uno y otro lado del centro encuentra a la sección, queda dividida por este en dos partes iguales.

Sea una elipse o unas hipérbolas opuestas, de diámetro AB, y centro G , y tracemos desde G una recta DGE .

Digo que GD=GE.

Tracemos DZ y EH como ordenadas . Ya que $\frac{t r a n s v e r s u m}{r e c t u m} = \frac{B Z \cdot Z A}{Z D^{2}} = \frac{A H \cdot H B}{H E^{2}}$ [Prop. I.21], entonces $\frac{B Z \cdot Z A}{A H \cdot H B} = \frac{Z D^{2}}{H E^{2}}$ .

Pero, por semejanza de triángulos, $\frac{Z G^{2}}{G H^{2}} = \frac{Z D^{2}}{H E^{2}}$ , entonces $\frac{B Z \cdot Z A}{Z G^{2}} = \frac{A H \cdot H B}{G H^{2}}$ .

Así, en el caso de la elipse, $\frac{B Z \cdot Z A + Z G^{2}}{G Z^{2}} = \frac{A H \cdot H B + G H^{2}}{G H^{2}}$ , esto es, $\frac{(A G + G Z) (A G - G Z) + Z G^{2}}{Z G^{2}} = \frac{(B G + G H) (B G - G H) + G H^{2}}{G H^{2}}$ , de donde $\frac{A G^{2}}{Z G^{2}} = \frac{B G^{2}}{G H^{2}}$ . Por otra parte, en el caso de la hipérbola, $\frac{Z G^{2} - B Z \cdot Z A}{Z G^{2}} = \frac{G H^{2} - A H \cdot H B}{G Z^{2}}$ , esto es, $\frac{Z G^{2} - (Z G + A G) (Z G - A G)}{Z G^{2}} = \frac{G H^{2} - (G H + B G) (G H - B G)}{G H^{2}}$ , de donde $\frac{A G^{2}}{Z G^{2}} = \frac{B G^{2}}{G H^{2}}$ . Pero BG = AG, luego GH²=GZ², así ZG=GH.

Y DZ y HE son paralelas, así DG=GE.

Q. E. D.

Ir a Comentario de Eutocio