Por tanto, en la elipse, por composición; en las hipérbolas opuestas, por inversión y conversión.

En la elipse primero, diremos esto: ya que \[\mathrm{\frac{AH\cdot HB}{HE^2}=\frac{AZ\cdot ZB}{DZ^2}}\] y \[\mathrm{\frac{EH^2}{HG^2}=\frac{DZ^2}{ZG^2}},\] a intervalos iguales, \[\mathrm{\frac{AH\cdot HB}{HG^2}=\frac{AZ\cdot ZB}{ZG^2}}.\] Por composición, según [Euclides:Prop. II.5], \[\mathrm{\frac{GB^2}{GH^2}=\frac{AZ\cdot ZB+ZG^2}{ZG^2}=\frac{AG^2}{GZ^2}},\] porque la recta ΑΒ se divide en dos partes iguales en el punto G y dos partes desiguales en el punto Z; por permutación, \[\mathrm{\frac{ZG^2}{GH^2}=\frac{AG^2}{GB^2}}.\] Entonces, en opuestos: \[\mathrm{\frac{AH\cdot HB}{GH^2}=\frac{BZ\cdot ZA}{ZG^2}},\] porque son a intervalos iguales, entonces, por inversión, \[\mathrm{\frac{GH^2}{AH\cdot HB}=\frac{ZG^2}{BZ\cdot ZA}}.\] Por conversión, \[\mathrm{\frac{HG^2}{GB^2}=\frac{ZG^2}{GA^2}},\] ya que una recta ΑΒ se biseca en dos partes iguales en un punto G; ; y se le añade una recta ZΑ; y \(\mathrm{BZ\cdot ZA+AG^2=GZ^2}\) [Euclides:Prop. II.6], por lo que que \(\mathrm{GZ^2-BZ\cdot ZA=AG^2}\), y la expresión "por conversión" es perfectamente correcta.