Cortando
un cono por un plano que pase por el eje y trazando por un punto cualquiera, no situado en el lado del triángulo según el eje,
la paralela a una perpendicular desde la circunferencia del círculo a la base del triángulo, esta paralela cortará al triángulo según el eje;
y si se prolonga hasta la otra parte de la superficie quedará dividida en dos partes iguales por el plano del triángulo.
Sea un cono de vértice A y base el círculo BG ,
cortémosle por un plano que pase por el eje, el cual dará como sección el triángulo ABG
.
Desde un cierto punto M de la circunferencia BG tracemos una perpendicular MN a la recta BG
. Tomemos sobre la superficie cónica un cierto punto D,
y por D tracemos una paralela DE a MN .
Digo que la prolongación de DE corta al plano del triángulo ABG y que, si esta recta es prolongada hacia la otra parte del cono hasta que corta a su superficie,
será bisecada por el plano del triángulo ABG.
Tracemos una recta de unión AD y prolonguémosla; cortará a la circunferencia BG en un punto K
. Tracemos una perpendicular KQL a la recta BG
.
Así KQ es paralela a MN y también a DE [Euclides:Prop. XI.9]. Tracemos una recta de unión AQ de A a un punto Q.
.
Ya que en el triángulo AQK, DE es paralela a QK, así prolongando DE cortará a AQ.
Pero AQ está en el plano del triángulo ABG; así DE cortará a este plano.
Por las mismas razones también cortará a AQ en un punto Z y prolonguemos DZ en linea recta hasta que corte a la superficie cónica. Sea H el punto de intersección
.
Digo que DZ = ZH.
Ya que los puntos A, H y L están sobre la superficie del cono y por otra parte en el plano limitado por las rectas AQ, AK, DH y KL, que es un triángulo que pasa
por el vértice del cono [Prop. I.3], así A, H, L están en la intersección de la superficie del cono y del triángulo. Así la línea que pasa por A, H y L es una recta.
Ya que en el triángulo ALK se traza la recta DQ paralela a la base KTL, y que desde el punto A se traza una cierta recta AZQ, así
\[\mathrm{\frac{KQ}{QL} = \frac{DZ}{ZH}}\][Euclides:Prop. VI.4]. Pero KH=HL [Euclides:Prop. III.3]
ya que KL es una cuerda perpendicular al diámetro del círculo BG. Así Así DZ = ZH.
Q. E. D.
Comentario de Eutocio