Si
se toman dos puntos en una o en otra de las dos superficies cónicas opuestas por el vértice y la recta que los
une no se dirige hacia él, la recta caerá dentro de la superficie y su prolongación fuera.
Sea una superficie cónica de vértice A, y BG la circunferencia que recorre la recta para describirla
.
Tomemos en una o en otra de las dos superficies opuestas por el vértice dos puntos D y E tales que su recta de
unión no se dirija hacia A .
Digo que esta recta DE cae dentro de la superficie y su prolongación fuera. [1]
Tracemos las rectas de unión AE y AD y prolonguémoslas .
Entonces caerán sobre
sendos puntos B y G de la circunferencia [Prop. I.1], cuya recta de unión BG será interior al círculo y por tanto interior
a la superficie cónica .
Tomemos un punto cualquiera Z de DE y tracemos la recta de unión AZ y prolonguémosla
.
Entonces caerá sobre BG, porque el triángulo ABG está situado en un solo plano
[Euclides:Prop. XI.2]. Si H es el punto de intersección , este punto es interior a la
superficie cónica, así la recta AH está también en el interior
de la superficie cónica [Cor. Prop. I.1] y por tanto también el punto Z está en el interior de la superficie cónica.
Del mismo modo se demuestra que que todos los puntos de la recta DZ son interiores, luego esta recta cae
dentro de la superficie cónica.
Prolonguemos ahora la recta DE hasta Q .
Digo que caerá fuera de la superficie cónica.
Supongamos que un
punto Q de la recta DE no es exterior y tracemos la recta de unión AQ y prolonguémosla. Entonces caerá sobre
la circunferencia o será interior a ella [Prop. I.1 y Cor. Prop. I.1]. Y esto es imposible
porque cae en un punto K de la recta prolongada ,
luego la recta EQ es exterior a la superficie cónica.
Q. E. D.
Comentario de Eutocio