Si una tangente a una de las hipérbolas opuestas encuentra al diámetro, se prolonga hasta la otra sección la recta que une el punto de contacto y el centro, y se hace lo demás como antes, el rectángulo que se aumenta tiene por lados la recta tomada y la comprendida entre las hipérbolas opuestas.

Sean hipérbolas opuestas de diámetro AB y centro E Paso 1; tracemos una tangente GD a la hipérbola B Paso 2; tracemos la recta de unión GE y prolonguémosla hasta Z Paso 3; tracemos una ordenada BLH de manera que \(\rm \dfrac{K}{2GD} = \dfrac{LG}{GH}\) para una cierta recta K Paso 4.

Es evidente que si desde un punto cualquiera Q de la hipérbola GB trazamos una paralela QR a GD que corta a GE en R Paso 5 y trazamos una paralela PR a GO que corta a OZ en P , donde GO es perpendicular a ZE con K=GO, entonces QR²=PR∙GR Paso 6.

Digo que además se constata lo mismo en la hipérbola ZA.

Tracemos por Z una tangente MZ a la hipérbola AZ, y tracemos ACN como ordenada Paso 7. Ya que BG y AZ son hipérbolas opuestas, y GD y MZ son tangentes a ellas, así GD es igual y paralela a MZ [Prop. I.44]. Pero GE=EZ [Prop. I.30], así ED=EM. Ya que \(\rm \dfrac{K}{2GD} = \dfrac{LG}{GH}\) y GD = MZ, entonces \(\rm \dfrac{K}{2MZ} = \dfrac{LG}{GH}\). Como, los triángulos CZN y LGH son equiángulos, entonces \(\rm \dfrac{CZ}{ZN} = \dfrac{LG}{GH}\) [Euclides:Prop. VI.4 ], de donde \(\rm \dfrac{K}{2MZ} = \dfrac{CZ}{ZN}\).

Ya que AZ es una hipérbola cuyo diámetro es AB, MZ una tangente, AN una ordenada, y \(\rm \dfrac{K}{2MZ} = \dfrac{CZ}{ZN}\), entonces si tomamos un punto cualquiera Q de la hipérbola AZ, y desde él trazamos una paralela QR a ZM que corta a la prolongación de GE en R y trazamos una paralela PR a GO que corta a la recta OZ en P, entonces QR²=PR∙GR [Prop. I.50].

Q. E. D.

Demostradas todas estas cosas, es claro que en la parábola las paralelas al eje son diámetros [Prop. I.46], mientras que en la hipérbola, en la elipse y en las hipérbolas opuestas lo son las rectas que pasan por el centro [Prop. I.47 y Prop. I.48]; en la parábola, los cuadrados de las paralelas a las tangentes sobre los diámetros respectivos equivalen a rectángulos aplicados a una misma recta; pero esos cuadrados equivalen a áreas aplicadas a una recta [Prop. I.49] y aumentadas en una figura en la hipérbola y en las hipérbolas opuestas [Prop. I.50 y Prop. I.51] y disminuidas en esa figura en la elipse [Prop. I.50], y, finalmente, es claro que todas las cosas demostradas para las secciones referidas a los diámetros principales también son ciertas si se adoptan otros diámetros.