Si en la hipérbola, y sobre el lado transverso de la figura, se toma un punto que determina, a partir del vértice, una recta no inferior a la mitad del lado transverso y del mismo punto sale una recta al encuentro de la sección, la recta, prolongada, caerá dentro de esta.

Sea una hipérbola de diámetro AB Paso 1 y tomemos un punto G de manera que la recta GB no es más pequeña que la mitad de AB Paso 2 y tracemos alguna recta GD que corte a la sección Paso 3.

Digo que la prolongación de GD caerá en el interior de la sección.

Supongamos que esta prolongación GDE cayera fuera de la sección Paso 4, y desde E, un punto cualquiera, tracemos EH como una ordenada Paso 5, también tracemos DQ como una ordenada Paso 6 y supongamos primero que AG=GB.

Ya que $\mathrm{E}\mathrm{H}>\mathrm{Z}\mathrm{H}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{Q}}^2}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{E}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{Q}}^2}}$, pero, por semejanza de triángulos, ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{Q}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}{\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2}}$ y como ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}{\mathrm{H}}^2}{\mathrm{D}{\mathrm{Q}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}}$ [Prop. I.21], así ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}{\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}}$. Así ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2-\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2-\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}}$, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{G}}^2-(\mathrm{H}\mathrm{G}+\mathrm{G}\mathrm{B})(\mathrm{H}\mathrm{G}-\mathrm{G}\mathrm{B})}{\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{G}{\mathrm{Q}}^2-(\mathrm{G}\mathrm{Q}+\mathrm{G}\mathrm{B})(\mathrm{G}\mathrm{Q}-\mathrm{G}\mathrm{B})}{\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{G}{\mathrm{B}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}}}$. Por tanto $\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}\mathrm{B}<\mathrm{A}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{Q}\mathrm{B}$, y esto es imposible. Así GDE no caerá en el exterior de la sección, y caerá en el interior.

Y por esta razón la recta trazada desde algún punto de AG caerá en el interior de la sección, ya que también cae en el interior de GD.

Q. E. D.

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