Si en la hipérbola, y sobre el lado transverso de la figura, se toma un punto que determina, a partir del vértice, una recta no inferior a la mitad del lado transverso y del mismo punto sale una recta al encuentro de la sección, la recta, prolongada, caerá dentro de esta.

Sea una hipérbola de diámetro AB Paso 1 y tomemos un punto G de manera que la recta GB no es más pequeña que la mitad de AB Paso 2 y tracemos alguna recta GD que corte a la sección Paso 3.

Digo que la prolongación de GD caerá en el interior de la sección.

Supongamos que esta prolongación GDE cayera fuera de la sección Paso 4, y desde E, un punto cualquiera, tracemos EH como una ordenada Paso 5, también tracemos DQ como una ordenada Paso 6 y supongamos primero que AG=GB.

Ya que \(\rm EH > ZH\), de donde \(\rm \dfrac{EH^2}{DQ^2} > \dfrac{EH^2}{DQ^2}\), pero, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{EH^2}{DQ^2} = \dfrac{HG^2}{GQ^2}\) y como \(\rm \dfrac{ZH^2}{DQ^2} = \dfrac{AH\cdot HB}{AQ\cdot QB}\) [Prop. I.21], así \(\rm \dfrac{HG^2}{GQ^2} > \dfrac{AH\cdot HB}{AQ\cdot QB}\), de donde \(\rm \dfrac{HG^2}{AH\cdot HB} > \dfrac{GQ^2}{AQ\cdot QB}\). Así \(\rm \dfrac{HG^2-AH\cdot HB}{AH\cdot HB} > \dfrac{GQ^2-AQ\cdot QB}{AQ\cdot QB}\), luego \(\rm \dfrac{HG^2-(HG+GB)(HG-GB)}{AH\cdot HB} > \dfrac{GQ^2-(GQ+GB)(GQ-GB)}{AQ\cdot QB}\), de donde \(\rm \dfrac{GB^2}{AH\cdot HB} > \dfrac{GB^2}{AQ\cdot QB}\). Por tanto \(\rm AH\cdot HB < AQ\cdot QB\), y esto es imposible. Así GDE no caerá en el exterior de la sección, y caerá en el interior.

Y por esta razón la recta trazada desde algún punto de AG caerá en el interior de la sección, ya que también cae en el interior de GD.

Q. E. D.

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