Si una tangente a una de las hipérbolas opuestas corta al diámetro y la prolongación de la recta que une el punto de contacto y el centro corta a la otra sección, toda paralela en esta tangente queda dividida en dos partes iguales por la recta prolongada.

Sean hipérbolas opuestas de diámetro AB y centro G Paso 1, y sea KL tangente a la hipérbola A Paso 2, y tracemos la recta de unión LG y prolonguémosla Paso 3 y tomemos un punto cualquiera N en la hipérbola B y por N tracemos la paralela NH a LK Paso 4.

Digo que NO=OH.

Tracemos desde E una tangente ED a la sección Paso 5, así [Prop. I.44] ED es paralela a LK. Y por tanto también a NH ya que BNH es una hipérbola cuyo centro es G y tangente DE, y ya que GE es una recta de unión y N es un punto cualquiera de la sección y NH es paralela a DE, luego NO=OH [Prop. I.47].

Q. E. D.

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