La paralela a un diámetro de la parábola y de la hipérbola las encuentra en un solo punto.

Sea primero una parábola de diámetro ABG Paso 1, y de lado recto AD Paso 2, y tracemos una paralela EZ a AB Paso 3.

Digo que la prolongación de EZ cortará a la sección [en un único punto].

Tomemos un punto cualquiera E en EZ, y tracemos desde E una paralela EH a una ordenada Paso 4, y sea DA∙AG > HE², y desde G, tracemos GQ como ordenada Paso 1.

Así QG²=DA∙AG [Prop. I.11].

Pero DA∙AG>EH², así QG²>EH², así QG>EH. Y ellas son paralelas.

Así la prolongación de EZ corta a QG, y por tanto también corta a la sección.

Sea K el punto de contacto Paso 6. Entonces digo que K es el único punto de corte.

Supongamos que también L fuese un punto de corte Paso 7. Ya que una recta corta a una parábola en dos puntos, si se la prolonga cortará al diámetro de la sección [Prop. I.22], y esto es imposible ya que las hemos supuesto paralelas.

Así la prolongación de EZ corta a la sección en un único punto.

A continuación sea la sección una hipérbola Paso 8, y AB el lado transverso de la figura Paso 9, y AD el lado recto Paso 10 y tracemos la recta de unión DB y prolonguémosla Paso 11. Entonces con la misma construcción Paso 12 tracemos desde G una paralela GM a AD Paso 13. Ya que MG > DA, entonces MG∙GA>DA∙AG. Como, GQ²=MG∙GA [Prop. I.12], y DA∙AG > HE², así GQ² > HE². Y por tanto GQ>HE, y las mismas propiedades se verifican que en el primer caso.

Q. E. D.

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