Si
una recta corta a la parábola o a la hipérbola en dos puntos, pero no al diámetro dentro de la curva, su prolongación lo cortará fuera.
Sea una parábola o una hipérbola de diámetro AB ,
y tracemos una recta que corta a la sección en los puntos G y D [y no corte al diámetro AB] .
Digo que si prolongamos DG cortará a AB en el exterior de la sección.
Tracemos desde G y D las rectas GE y DB como ordenadas ,
y en primer lugar supongamos que la sección es una parábola. Ya que en la parábola, \(\rm\dfrac{GE^2}{DB^2}=\dfrac{EA}{AB}\)
[Prop. I.20] y EA > AB, así GE2 > DB2.
Y por tanto GE > DB.
Y ellas son paralelas; así la prolongación de GD cortará a AB en el exterior de la sección [Prop. I.10].
Supongamos ahora que la sección es una hipérbola [de lado transverso AZ]. Ya que en la hipérbola, \(\rm\dfrac{GE^2}{DB^2}=\dfrac{ZE\cdot EA}{ZB\cdot BA}\)
[Prop. I.21] , así GE2 > DB2.
Y ellas son paralelas; así la prolongación de GD cortará a AB en el exterior de la sección.
Q. E. D.