Si una recta situada entre dos diámetros conjugados de una elipse corta a esta, su prolongación cortará a los diámetros fuera de la sección.

Sea una elipse de diámetros AB y GD Paso 1, y tracemos una recta EZ entre los diámetros AB y GD Paso 2.

Digo que la prolongación de EZ cortará a ambos diámetros en el exterior de la sección.

Tracemos desde E y Z las rectas HE y ZQ como ordenadas a AB Paso 3, y EK y ZL a GD Paso 4. Así \(\rm\dfrac{EH^2}{ZQ^2}=\dfrac{BH\cdot HA}{BQ\cdot QA}\), y \(\rm\dfrac{ZL^2}{EK^2}=\dfrac{DL\cdot LG}{DK\cdot KG}\) [Prop. I.21] .

Y BH∙HA>BQ∙QA [Euclides:Prop. II.5], pues H está más cerca del punto medio de AB que Q, y DL∙LG> DK∙KG pues L está más cerca del punto medio de GD que K.

Así HE²>ZQ² y ZL²>EK². Así también HE>ZQ y ZL>EK.

Y HE es paralela a ZQ y ZL a EK, así [Euclides:Prop. I.10 y Euclides:Prop. I.33] la prolongación de EZ cortará a los dos diámetros AB y GD en el exterior de la sección.

Q. E. D.

Ir a Comentario de Eutocio