La paralela desde el vértice de una sección cónica a una recta trazada ordenadamente es tangente a la sección y ninguna otra recta caerá entre la tangente y la sección.

Sea una parábola de diámetro AB [y cuyo vértice es A] Paso 1, y desde A tracemos una paralela AG a una ordenada Paso 2. Ya ha sido demostrado que caerá en el exterior de la sección [Prop. I.17].

Digo ahora que además cualquier otra recta no caerá en el espacio entre AG y la sección.

Supongamos que AD cayese en el interior, y tomemos un punto cualquiera D en ella Paso 3, y tracemos DE como ordenada Paso 4, y sea AZ el lado recto para las ordenadas a AB Paso 5. Ya que \(\rm DE> HE\), entonces \(\rm \dfrac{DE^2}{EA^2} > \dfrac{HE^2}{EA^2}\), y \(\rm HE^2=ZA\cdot AE\) [Prop. I.11], de donde \(\rm \dfrac{DE^2}{EA^2} >\dfrac{ZA\cdot AE}{EA^2}\), luego \(\rm \dfrac{DE^2}{EA^2} >\dfrac{ZA}{EA}\).

Hagamos que \(\rm \dfrac{ZA}{AQ} =\dfrac{DE^2}{EA^2}\), de donde \(\rm \dfrac{ZA\cdot AQ}{AQ^2} =\dfrac{DE^2}{EA^2}\) y desde Q tracemos una paralela QLK a ED Paso 6.

Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{KQ^2}{AQ^2} =\dfrac{DE^2}{EA^2}\), entonces \(\rm \dfrac{ZA\cdot AQ}{AQ^2} =\dfrac{DE^2}{EA^2}\), y \(\rm ZA\cdot AQ=QL^2\) [Prop. I.11], de donde \(\rm \dfrac{QL^2}{AQ^2} =\dfrac{KQ^2}{AQ^2}\).

Así KQ=QL, y esto es imposible. Así ninguna otra recta caerá en el espacio entre AG y la sección.

A continuación sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB Paso 7 y cuyo lado recto es AZ Paso 8, tracemos la recta de unión BZ y prolonguémosla Paso 9, y desde A tracemos una paralela AG a una ordenada Paso 10. Ya ha sido demostrado que caerá en el exterior de la sección [Prop. I.17].

Digo que ninguna otra recta caerá en el espacio entre AG y la sección.

Supongamos que la recta AD cayese en el interior, y tomemos un punto cualquiera D en ella Paso 11, y tracemos DE como ordenada Paso 12 y tracemos una paralela EM a AZ Paso 13.

Ya que \(\rm HE^2=AE\cdot EM\) [Prop. I.12 y Prop. I.13], hagamos que \(\rm DE^2=AE\cdot EN \), y AN corte a ZM en C Paso 14, y tracemos desde C una paralela CQ a ZA Paso 15 y desde Q una paralela QLK a AG Paso 16. Ya que \(\rm DE^2=AE\cdot EN \), entonces \(\rm \dfrac{DE}{AE} =\dfrac{EN}{DE}\), y así \(\rm \dfrac{DE^2}{AE^2} =\dfrac{EN^2}{AE\cdot EN} = \dfrac{EN}{AE}\).

Pero, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{CQ}{QA} =\dfrac{EN}{AE}\) y \(\rm \dfrac{KQ}{QA} =\dfrac{DE}{AE}\), luego \(\rm \dfrac{KQ^2}{QA^2} =\dfrac{DE^2}{AE^2}\), de donde \(\rm \dfrac{KQ^2}{QA^2} =\dfrac{CQ}{QA} = \dfrac{QA\cdot CQ}{QA^2} \), así \(\rm KQ^2=QA\cdot CQ\).

Pero ya que \(\rm LQ^2=QA\cdot CQ\) [Prop. I.12 y Prop. I.13], así \(\rm LQ^2=QA\cdot CQ\), de donde KQ = LQ, y esto es imposible. Así ninguna otra recta caerá en el espacio entre AG y la sección.

Q. E. D.

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