La paralela desde el vértice de una sección cónica a una recta trazada ordenadamente es tangente a la sección y ninguna otra recta caerá entre la tangente y la sección.

Sea una parábola de diámetro AB [y cuyo vértice es A] Paso 1, y desde A tracemos una paralela AG a una ordenada Paso 2. Ya ha sido demostrado que caerá en el exterior de la sección [Prop. I.17].

Digo ahora que además cualquier otra recta no caerá en el espacio entre AG y la sección.

Supongamos que AD cayese en el interior, y tomemos un punto cualquiera D en ella Paso 3, y tracemos DE como ordenada Paso 4, y sea AZ el lado recto para las ordenadas a AB Paso 5. Ya que $\mathrm{D}\mathrm{E}>\mathrm{H}\mathrm{E}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{H}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}$, y $\mathrm{H}{\mathrm{E}}^2=\mathrm{Z}\mathrm{A}\cdot \mathrm{A}\mathrm{E}$ [Prop. I.11], de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{A}\cdot \mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}$, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{A}}{\mathrm{E}\mathrm{A}}}$.

Hagamos que ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{Q}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{A}\cdot \mathrm{A}\mathrm{Q}}{\mathrm{A}{\mathrm{Q}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}$ y desde Q tracemos una paralela QLK a ED Paso 6.

Ya que, por semejanza de triángulos, ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}{\mathrm{Q}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{Q}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{Z}\mathrm{A}\cdot \mathrm{A}\mathrm{Q}}{\mathrm{A}{\mathrm{Q}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{E}{\mathrm{A}}^2}}$, y $\mathrm{Z}\mathrm{A}\cdot \mathrm{A}\mathrm{Q}=\mathrm{Q}{\mathrm{L}}^2$ [Prop. I.11], de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{Q}{\mathrm{L}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{Q}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{K}{\mathrm{Q}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{Q}}^2}}$.

Así KQ=QL, y esto es imposible. Así ninguna otra recta caerá en el espacio entre AG y la sección.

A continuación sea una hipérbola, una elipse o una circunferencia de diámetro AB Paso 7 y cuyo lado recto es AZ Paso 8, tracemos la recta de unión BZ y prolonguémosla Paso 9, y desde A tracemos una paralela AG a una ordenada Paso 10. Ya ha sido demostrado que caerá en el exterior de la sección [Prop. I.17].

Digo que ninguna otra recta caerá en el espacio entre AG y la sección.

Supongamos que la recta AD cayese en el interior, y tomemos un punto cualquiera D en ella Paso 11, y tracemos DE como ordenada Paso 12 y tracemos una paralela EM a AZ Paso 13.

Ya que $\mathrm{H}{\mathrm{E}}^2=\mathrm{A}\mathrm{E}\cdot \mathrm{E}\mathrm{M}$ [Prop. I.12 y Prop. I.13], hagamos que $\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2=\mathrm{A}\mathrm{E}\cdot \mathrm{E}\mathrm{N}$, y AN corte a ZM en C Paso 14, y tracemos desde C una paralela CQ a ZA Paso 15 y desde Q una paralela QLK a AG Paso 16. Ya que $\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2=\mathrm{A}\mathrm{E}\cdot \mathrm{E}\mathrm{N}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{N}}{\mathrm{D}\mathrm{E}}}$, y así ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{E}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}{\mathrm{N}}^2}{\mathrm{A}\mathrm{E}\cdot \mathrm{E}\mathrm{N}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{N}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}}$.

Pero, por semejanza de triángulos, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{N}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}}$, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}{\mathrm{Q}}^2}{\mathrm{Q}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{A}{\mathrm{E}}^2}}$, de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}{\mathrm{Q}}^2}{\mathrm{Q}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{A}\cdot \mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}{\mathrm{A}}^2}}$, así $\mathrm{K}{\mathrm{Q}}^2=\mathrm{Q}\mathrm{A}\cdot \mathrm{C}\mathrm{Q}$.

Pero ya que $\mathrm{L}{\mathrm{Q}}^2=\mathrm{Q}\mathrm{A}\cdot \mathrm{C}\mathrm{Q}$ [Prop. I.12 y Prop. I.13], así $\mathrm{L}{\mathrm{Q}}^2=\mathrm{Q}\mathrm{A}\cdot \mathrm{C}\mathrm{Q}$, de donde KQ = LQ, y esto es imposible. Así ninguna otra recta caerá en el espacio entre AG y la sección.

Q. E. D.

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