Si un cono oblicuo se corta perpendicularmente a la base por un plano que pase por el eje y por otro plano perpendicular al triángulo axial y separa, del lado del vértice, un triángulo semejante al que pasa por el eje, pero calculado en sentido contrario, la sección es un círculo que llamaremos sección antiparalela.

Sea un cono oblicuo de vértice A y base el círculo BG Paso 1, cortémosle por un plano perpendicular al de este que pase por el eje, el cual dará como sección el triángulo ABG Paso 2. A continuación cortémosle por otro plano perpendicular al del triángulo ABG, que separa, del lado de A, un triángulo AHK semejante al triángulo ABG, pero antiparalelo, esto es, \(\widehat{\rm AKH}=\widehat{\rm ABG}\) Paso 3.

Digo que la sección KQH, producida por este plano, es un círculo.

Tomemos dos puntos cualesquiera Q y L en las líneas HQK y BLG Paso 4, y desde Q y L tracemos perpendiculares ZQ y LM al plano del triángulo ABG Paso 5. Entonces caerán sobre las intersecciones de los planos [Euclides: Def. XI.4].

Así ZQ es paralela a LM [Euclides:Prop. XI.6].

Tracemos por Z una paralela DZE a BG Paso 6. Como la recta ZQ es paralela a la recta LM, entonces el plano que pasa por QZ y DE es paralelo a la base del cono [Euclides:Prop. XI.15]. Así es un círculo de diámetro DE [Prop. I.34] Paso 7. Así DZ∙ZE=ZQ² [Euclides:Prop. II.14].

Ya que ED es paralela a BH, \(\widehat{\rm ADE} = \widehat{\rm ABH}\). Y como hemos supuesto que \(\widehat{\rm AKH} = \widehat{\rm ABH}\), así \(\widehat{\rm AKH} = \widehat{\rm ADE}\), por ser iguales los ángulos en Z, el triángulo DZH es semejante al triángulo KZE, y \(\rm\dfrac{EZ}{ZK}=\dfrac{HZ}{ZD}\) [Euclides:Prop. VI.4].

Así EZ∙ZD=KZ∙ZH [Euclides:Prop. XI.16]. Pero ha sido demostrado que ZQ²=EZ∙ZD. Así KZ∙ZH=ZQ².

Del mismo modo se demostraría que los cuadrados de todas las perpendiculares trazadas en la línea HQK a la recta HK son iguales al rectángulo de los dos segmentos de HK.

Así la sección es un círculo cuyo diámetro es HK.

Q. E. D.

Comentario de Eutocio