Cortando un cono por un plano que pase por el eje y por otro que corte al de la base según una recta perpendicular
a la del triángulo según el eje, o a su prolongación, las paralelas a esa perpendicular trazadas desde la
sección producida en la sección cónica por el plano secante, cortarán a la intersección de éste y el triángulo
según el eje, y, prolongadas hasta la otra parte de la sección, quedarán divididas en dos partes iguales por
dicha intersección. Si el cono es recto, la recta situada en la base será perpendicular a la misma intersección y
si es oblicuo solo será perpendicular cuando el plano que pase por el eje lo sea a la base del cono.
Sea un cono de vértice el punto A y base el círculo BG
y cortémosle por un plano que pasa por el eje y este plano determina una sección que es
el triángulo ABG . Cortémosle también por otro plano que corta al plano que contiene al triángulo ABG en DE perpendicular a BG
o bien prolongándolo determina en la superficie del cono una sección DZE
.
Entonces ZH es la intersección del plano secante y del triángulo ABG
.
Tomemos algún punto Q en la sección DZE, y tracemos desde Q una paralela QK a DE
.
Digo que QK corta a ZH, y prolongándola hasta el otro lado de la sección DZE será bisecada por ZH.
Ya que el cono cuyo vértice es el punto A y cuya base es el círculo BG ha sido cortado por un plano que pasa por su eje, y este plano determina una sección
que es el triángulo ABG, y que un cierto punto Q se ha tomado sobre la superficie, no sobre un lado del triángulo ABG, y ya que la recta DH es
perpendicular a BG, entonces la paralela trazada desde Q a DH, es decir QK, cortará al triángulo ABG, y se prolonga hasta el otro lado de la superficie,
será bisecada por el triángulo.
Entonces ya que la recta trazada por Q paralela a DE corta al triángulo ABG, y está en el plano de la sección DZE, caerá sobre la intersección
del plano de corte y del triángulo ABG. Pero ZH es la intersección de los planos. Así la recta trazada por Q paralela a DE, caerá sobre ZH,
y si es prolongada hacia el otro lado de la sección DZE, será bisecada por ZH.
Entonces o el cono es recto o el triángulo axial ABC es perpendicular al círculo BG o ninguno de los dos casos.
En primer lugar supongamos que el cono es recto. Entonces [Def. I.3 y Euclides:Prop. XI.18] el triángulo ABG será
perpendicular al círculo BG. Ya que el plano ABG es perpendicular al plano del círculo BG, y DE ha sido trazada en uno de estos dos planos,
el plano del círculo BG, perpendicular a su intersección, la recta BG, así Euclides:Def. XI.4] DE es perpendicular al triángulo ABG,
y así a todas las rectas que la cortan y que están situadas en el triángulo ABG. Y por tanto DE es perpendicular a ZH.
Ahora supongamos que el cono es oblicuo. Si el triángulo axial es perpendicular al círculo BG, se demostrará de forma análoga que DE es perpendicular a ZH.
A continuación supongamos que el triángulo axial no es perpendicular al círculo BG. Digo que DE no es perpendicular a ZH.
Supongamos que fuese posible. Y es por tanto perpendicular a la recta BG. Así DE es perpendicular a BG y ZH y así es perpendicular al plano definido
por las rectas BG y ZH. Pero el plano definido por las rectas BG y ZH es el plano del triángulo ABG, y así DE es perpendicular al triángulo ABG.
Y así todos los planos trazados por ella son perpendiculares al triángulo ABG. Pero uno de los planos que pasa por DE es el plano del círculo BG.
Así el círculo BG es perpendicular al triángulo ABG. Y por tanto el triángulo ABG será perpendicular al círculo BG. Y esto es una contradicción.
Así DE no es perpendicular a ZH.
Q. E. D.
Comentario de Eutocio