Cortando
un cono por un plano que encuentre a los lados del triángulo sin ser paralelo ni antiparalelo a la base,
la sección no será un círculo.
Sea un cono de vértice el punto A y base el círculo BG
, y cortémosle por un plano que no es paralelo
ni antiparalelo a la base del cono y este plano determina una sección DKE sobre la superficie
.
Digo que la línea DKE no es un círculo.
Si suponemos que lo es y el plano secante corta al de la base según la recta ZH
, y es Q el centro del círculo BG,
tracemos por Q la perpendicular QH a ZH . Tracemos por HQ y el eje un plano que cortará a la superficie cónica
según las rectas BA y AG [Prop. I.1]
. Ya que los puntos D, E y H están en el plano que
pasa por la línea DKE y en el que pasa por los puntos A, B y G, los puntos D, E y H estarán en la intersección
de estos dos planos. Así HED es una recta [Euclides:Prop. XI.3].
Tomemos ahora un punto K en la línea DKE y tracemos por él la recta KL paralela a ZH
. Entonces
KM=ML [Prop. I.7]. Así KL es el diámetro del círculo DKLE
. Tracemos por M la paralela
NMC a BG . Pero KL también es paralela a ZH.
Por tanto el plano que pasa por NC y KM es paralelo al plano
que pasa por BG y ZH [Euclides:Prop. XI.15], es decir a la base del cono, y la sección
será círculo NKC [Prop. I.5] .
Ya que ZH es perpendicular a BH, y KM es perpendicular a NC [Euclides:Prop. XI.10].
Y por tanto NM∙MC=KM2 [Euclides:Prop. II.14].
Pero DM∙ME=KM2 ya que hemos supuesto que la línea DKEL es un círculo y DE uno de sus diámetros.
Así NM∙MC=DM∙ME. Así \(\rm\dfrac{MN}{MD}=\dfrac{EM}{MC}\) [Euclides:Prop. VI.16].
Así el triángulo DMN es semejante al
triángulo CME [Euclides:Prop. VI.6 y Euclides:Def. VI.1] , y \(\widehat{\rm DNM}=\widehat{\rm MEC}\). Pero \(\widehat{\rm DNM}=\widehat{\rm ABG}\) ya que
NC es paralela a BG. Así \(\widehat{\rm ABG}=\widehat{\rm MEC}\). Así
la sección es antiparalela a la base del cono [Prop. I.5], lo que es contrario a la hipótesis. Así la línea DKE no es un
círculo.
Q. E. D.