Proposición 9

Cortando un cono por un plano que encuentre a los lados del triángulo sin ser paralelo ni antiparalelo a la base, la sección no será un círculo.

Sea un cono de vértice el punto A y base el círculo BG , y cortémosle por un plano que no es paralelo ni antiparalelo a la base del cono y este plano determina una sección DKE sobre la superficie .

Digo que la línea DKE no es un círculo.

Si suponemos que lo es y el plano secante corta al de la base según la recta ZH , y es Q el centro del círculo BG, tracemos por Q la perpendicular QH a ZH . Tracemos por HQ y el eje un plano que cortará a la superficie cónica según las rectas BA y AG [Prop. I.1] . Ya que los puntos D, E y H están en el plano que pasa por la línea DKE y en el que pasa por los puntos A, B y G, los puntos D, E y H estarán en la intersección de estos dos planos. Así HED es una recta [Euclides:Prop. XI.3].

Tomemos ahora un punto K en la línea DKE y tracemos por él la recta KL paralela a ZH . Entonces KM=ML [Prop. I.7]. Así KL es el diámetro del círculo DKLE . Tracemos por M la paralela NMC a BG . Pero KL también es paralela a ZH.

Por tanto el plano que pasa por NC y KM es paralelo al plano que pasa por BG y ZH [Euclides:Prop. XI.15], es decir a la base del cono, y la sección será círculo NKC [Prop. I.5] .

Ya que ZH es perpendicular a BH, y KM es perpendicular a NC [Euclides:Prop. XI.10]. Y por tanto NM∙MC=KM² [Euclides:Prop. II.14].

Pero DM∙ME=KM² ya que hemos supuesto que la línea DKEL es un círculo y DE uno de sus diámetros.

Así NM∙MC=DM∙ME. Así $\frac{M N}{M D} = \frac{E M}{M C}$ [Euclides:Prop. VI.16].

Así el triángulo DMN es semejante al triángulo CME [Euclides:Prop. VI.6 y Euclides:Def. VI.1] , y $\hat{D N M} = \hat{M E C}$ . Pero $\hat{D N M} = \hat{A B G}$ ya que NC es paralela a BG. Así $\hat{A B G} = \hat{M E C}$ . Así la sección es antiparalela a la base del cono [Prop. I.5], lo que es contrario a la hipótesis. Así la línea DKE no es un círculo.

Q. E. D.